已知不等式x²+2ax-3a+4>0在x∈[1,2]恒成立,求a的取值范围.

已知不等式x²+2ax-3a+4>0在x∈[1,2]恒成立,求a的取值范围.
已知不等式x²+2ax-3a+4>0在x∈[1,2]恒成立,求a的取值范围.

已知不等式x²+2ax-3a+4>0在x∈[1,2]恒成立,求a的取值范围.
已知不等式x²+2ax-3a+4>0在x∈[1,2]恒成立,求a的取值范围.
y=x²+2ax-3a+4=(x+a)²-a²-3a+4=(x+a)²-(a²+3a-4)=(x+a)²-(a+4)(a-1)≧-(a+4)(a-1).
这是一条开口朝上的抛物线,要使y>0在区间[1,2]上恒成立,需作以下讨论：
(一).当对称轴x=-a在指定区间[1,2]的左边,即-a≦1,也就是a≧-1时,只需y(1)=5-a>0,
即a

令y=x²+2ax-3a+4，对称轴x=-a因为在[1,2]内y＞0恒成立，y是开口向上的抛物线所以

1. 对称轴1≤x=-a≤2，则需要ymin＞0，即y(-a)=-a²-3a+4＞0，有-2≤a≤-1

2. 对称轴x=-a＜1，则在[1,2]上单调递增，所以需要y(1)＞0，有-1＜a＜5

3. 对称轴x=-a＞2，则在[1,2]上单调递减，所以需要y(2)＞0，有-8＜a＜-2

   综上所述，a∈(-8，5)