设方程x²+px+q=0的两根分别比方程x²+2qx+ \frac{1}{2}p=0的两根大1,且方程x²+px+q=0的两根之差与方程x²+2qx+ \frac{1}{2}p=0的两根之差相等,求这两个方程的解.

设方程x²+px+q=0的两根分别比方程x²+2qx+ \frac{1}{2}p=0的两根大1,且方程x²+px+q=0的两根之差与方程x²+2qx+ \frac{1}{2}p=0的两根之差相等,求这两个方程的解.
设方程x²+px+q=0的两根分别比方程x²+2qx+ \frac{1}{2}p=0的两根大1,且方程x²+px+q=0的两根之差与方程x²+2qx+ \frac{1}{2}p=0的两根之差相等,求这两个方程的解.

设方程x²+px+q=0的两根分别比方程x²+2qx+ \frac{1}{2}p=0的两根大1,且方程x²+px+q=0的两根之差与方程x²+2qx+ \frac{1}{2}p=0的两根之差相等,求这两个方程的解.
设方程x²+px+q=0的两根为x1,x2,方程x²+2qx+p=0的两根是x3,x4
则：x1+x2＝-p,x1x2=q;x3+x4＝-2q,x3x4=p
所以(x1-x2)²=(x1+x2)²－4x1x2＝p²-4q
(x3-x4)²=(x3+x4)²－4x3x4＝4q²-4p
则由已知条件可得:
－p=-2q+2 （1）
且p²-4q＝4q²-4p （2）
（1）式可化为：p+2=2q （3）
（2）式可化为：p²+4p＝4q²+4q
即：(p+2)²=4q²+4q+4 (4)
将（3）式代入（4）式,得：
4q²＝4q²+4q+4
即4q+4＝0
解得q＝－1,p＝－4
则方程x²+px+q=0可写为x²－4x－1=0
解方程得x1＝2+√5,x2＝2－√5
而方程x²+2qx+p=0可写为x²－2x－4=0
解方程得x3＝1+√5,x4＝1－√5