计算二重积分.∫∫根下{(1-x^2-y^2)/(1+x^2+y^2)}dσ,D:x^2+y^2=1及坐标轴所围成的第一象限区域答案π*(π-2)/8

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 15:41:48

计算二重积分.∫∫根下{(1-x^2-y^2)/(1+x^2+y^2)}dσ,D:x^2+y^2=1及坐标轴所围成的第一象限区域答案π*(π-2)/8
计算二重积分.∫∫根下{(1-x^2-y^2)/(1+x^2+y^2)}dσ,D:x^2+y^2=1及坐标轴所围成的第一象限区域
答案π*(π-2)/8

计算二重积分.∫∫根下{(1-x^2-y^2)/(1+x^2+y^2)}dσ,D:x^2+y^2=1及坐标轴所围成的第一象限区域答案π*(π-2)/8
化为极坐标
原式=∫[0->π/2]dθ∫[0->1] [(1-r²)/(1+r²)]^(1/2) rdr
=π/2∫[0->1] (1/2)[(1-r²)/(1+r²)]^(1/2) dr²
第二类换元法
令t=[(1-r²)/(1+r²)]^(1/2),解出r²=(1-t²)/(t²+1),dr²/dt=[(1-t²)/(t²+1)]'=-4t/(t²+1)²
r²∈[0,1] -> t∈[1,0]
=π/4∫[1->0] -4t²/(t²+1)²dt
=π∫[0->1] t²/(t²+1)²dt
=π∫[0->1] (t²+1)/(t²+1)²dt - ∫[0->1] 1/(t²+1)²dt
=π [(arctan1-arctan0) - (t/(1+t^2)+arctant)/2 | (0->1) ]
=π [π/4-(1/2+π/4-0-0)/2]
=π [π/8 - 1/4]
=π*(π-2)/8
其中用到了:
∫1/(1+t^2)^2dt=(t/(1+t^2)+arctant)/2+C
过程有点复杂,可能还有更好的方法我没有找到