已知：正方形ABCD中,E为AB的中点,F是AD上的一点,且AF=1/4AD,EG⊥CF于点G.试说明：EG的平方=CG*FG

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/17 17:49:09

已知：正方形ABCD中,E为AB的中点,F是AD上的一点,且AF=1/4AD,EG⊥CF于点G.试说明：EG的平方=CG*FG
已知：正方形ABCD中,E为AB的中点,F是AD上的一点,且AF=1/4AD,EG⊥CF于点G.试说明：EG的平方=CG*FG

已知：正方形ABCD中,E为AB的中点,F是AD上的一点,且AF=1/4AD,EG⊥CF于点G.试说明：EG的平方=CG*FG
证明：
∵E为AB的中点,AF=1/4AD
∴AF/BE=AE/BC=1/2
∵∠A=∠B
∴△AEF∽△BCE
∴∠AEF=∠BCE
∴∠AEF+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°
∴∠CEF=90°
∵EG⊥CF
∴△EFG∽△CEG
∴EG²=CG*CFG

首先说说思路，把图按照题目要求画出来，题目要我们证明的是EG的平方=CG*FG

实际上根据射影定理，也就是证明角FEC是直角，射影定理是指 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC, (2)(AB)^2;=BD·BC , (3)(AC)^2;=CD·BC 。推导过程实质是利用了三角形相似。现在问题转化为证明∠FEC是直角

我发现了两种方法：

△AEF相似于△BCE 则∠aef与∠bec互余，则∠FEC=90°，即证。

第二种是勾股定理法，你可以设正方形边长为4，分别将FE EC CF长度计算出来正好满足勾股定理即证出角FEC为直角即证。

1.直接设边长为a，解出EF,CF,CE，可以，根据勾股定理知道EFC是直角三角形，再算出EG，再算出CG和FG代入等式验证。
2.先证AEF和BCE相似，再证明角AEF和角BEC加起来90度，直接得出FEC是直角三角形，然后证明FEG和BGC都跟FEC相似，得出FEG与BGC相似，根据FG/EG=EG/CG，变形得到所要等式。...

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证明：
∵E为AB的中点，AF=1/4AD
∴AF/BE=AE/BC=1/2
∵∠A=∠B
∴△AEF∽△BCE
∴∠AEF=∠BCE
∴∠AEF+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°
∴∠CEF=90°
∵EG⊥CF
∴△EFG∽△CEG
∴EG=CG*CFG
完全利用三角形的相似