已知在四棱锥P–ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=√3,AB=1,AD=2,∠BAD=120°,E,F,G,H分别是BC,PB,PC,AD的中点.(Ⅰ)PH//平面GED； (Ⅱ)过点F做平面α,当平面α与平面EDG所成90°角时,设PA与平面α

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/08 21:33:14

已知在四棱锥P–ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=√3,AB=1,AD=2,∠BAD=120°,E,F,G,H分别是BC,PB,PC,AD的中点.(Ⅰ)PH//平面GED； (Ⅱ)过点F做平面α,当平面α与平面EDG所成90°角时,设PA与平面α
已知在四棱锥P–ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=√3,AB=1,AD=2,∠BAD=120°,E,F,G,H分别是BC,PB,PC,AD的中点.(Ⅰ)PH//平面GED； (Ⅱ)过点F做平面α,当平面α与平面EDG所成90°角时,设PA与平面α交于点Q,求PQ的长.

⑴证明：连接HC,交ED于点N,连接GN,
∵DHEC是平行四边形,

∴N是线段HC的中点,又G是PC的中点,
∴GN∥PH,(三角形中位线定理)
又∵GN⊂平面GED,PH⊄平面GED,
∴PH∥平面GED．

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⑵连接AE,

∵∠BAD=120°,

∴△ABE是等边三角形,
设BE的中点为M,以AM、AD、AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz．
则B(√3/2,−1/2,0),C(√3/2,3/2,0),D(0,2,0),P(0,0,√3),

则E(√3/2,1/2,0),F(√3/4,−1/4,√3/2）,G(√3/4,3/4,√3/2)．

设Q(0,0,t),向量ED=(−√3/2,3/2,0),向量DG=(√3/4,−5/4,√3/2)．

【以下省略"向量"二字】

设n1=(x1,y1,z1)是平面GED的一个法向量,

则n1•ED=−√3/2•x1+3/2•y1=0

n1•DG=√3/4•x1−5/4•y1+√3/2•z1=0

令y1=1,得

n1=(√3,1,√3/3)．

设n2=(x2,y2,z2)是平面α的一个法向量,

则n2•ED=−√3/2•x2+3/2•y2＝0

n2•QF=√3/4•x2−1/4•y2+(√3/2−t)•z2=0

令y2=1,得

n2=(√3,1,1/(2t-√3)),

当平面GED⊥平面α时,

n1•n2=3+1+√3/3•1/(2t−√3)=0,

得t=11√3/24,则PQ的长为√3−11√3/24=13√3/24．

故答案为：13√3/24.

【本题综合考查了线面平行于垂直、面面平行与垂直、建立空间直角坐标系得出二面角的法向量、平行四边形的性质、三角形的中位线定理等基础知识与基本技能,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力．】

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