作业帮△ABC为等边三角形,圆O为△ABC外接圆,P是弧BC上任意一点,PA交BC于D,求证PA平方=AC平方+PB*PC
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 22:44:06
△ABC为等边三角形,圆O为△ABC外接圆,P是弧BC上任意一点,PA交BC于D,求证PA平方=AC平方+PB*PC
△ABC为等边三角形,圆O为△ABC外接圆,P是弧BC上任意一点,PA交BC于D,求证PA平方=AC平方+PB*PC
△ABC为等边三角形,圆O为△ABC外接圆,P是弧BC上任意一点,PA交BC于D,求证PA平方=AC平方+PB*PC
【简单一道相似题,楼上用什么xx定理?】
证明：
∵⊿ABC为等边三角形
∴AB=AC
∴∠ACB=∠APC【同圆内等弧所对的圆周角相等】
又∵∠CAP=∠DAC【公共角】
∴⊿ACD∽⊿APC（AA‘）
∴PA/AC=AC/AD
∴PA×AD=AC²
∵∠APB=∠APC【同圆内等弧（AB=AC）所对的圆周角相等】
∠BAP=∠BCP【同弧所对的圆周角相等】
∴⊿BAP∽⊿DCP（AA’）
∴PA/PC=PB/PD
∴PA×PD=PB×PC
∴PA×AD+PA×PD=AC²+PB×PC
∵PA=AD+PD
∴PA²=AC²+PB×PC
∵ABPC是圆内接四边形，∴由托勒密定理，有：AC×PB＋AB×PC＝BC×PA。
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴由上式容易得出：PB＋PC＝PA。
∴PA^2＝PB^2＋PC^2＋2PB×PC。······①
∵ABPC是圆内接四边形，又△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BPC＝120°，
∴cos∠BPC＝－1/2。
∴由余弦...
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∵ABPC是圆内接四边形，∴由托勒密定理，有：AC×PB＋AB×PC＝BC×PA。
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴由上式容易得出：PB＋PC＝PA。
∴PA^2＝PB^2＋PC^2＋2PB×PC。······①
∵ABPC是圆内接四边形，又△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BPC＝120°，
∴cos∠BPC＝－1/2。
∴由余弦定理，有：BC^2＝PB^2＋PC^2－2PB×PCcos∠BPC＝PB^2＋PC^2＋PB×PC。······②
①－②，得：PA^2－BC^2＝PB×PC，∴PA^2＝BC^2＋PB×PC，而BC＝AC，
∴PA^2＝AC^2＋PB×PC。
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