在等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,在四边形BDEC中,DB=DE,∠BDE=2α,M为CE的中点,连接AM、DM.(1)求证:AM⊥DM(2)当α=多少时,AM=DM?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 21:33:43

在等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,在四边形BDEC中,DB=DE,∠BDE=2α,M为CE的中点,连接AM、DM.(1)求证:AM⊥DM(2)当α=多少时,AM=DM?
在等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,在四边形BDEC中,DB=DE,∠BDE=2α,M为CE的中点,连接AM、DM.(1)求证:AM⊥DM(2)当α=多少时,AM=DM?

在等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,在四边形BDEC中,DB=DE,∠BDE=2α,M为CE的中点,连接AM、DM.(1)求证:AM⊥DM(2)当α=多少时,AM=DM?
(1)所画图形如下所示:

(2)连接AD,AN.
∵DM=MN,CM=ME,
∴四边形DENC是平行四边形,
∴CN∥DE,CN=DE,
∴∠E=∠NCM,
∵DB=DE,
∴BD=CN,
∵∠CBD+∠BDE+∠E+∠BCE=360°,
∠ACB+∠BCE+∠NCE+∠ACN=360°,
∴∠CBD+∠BDE=∠ACB+∠ACN
∵AB=AC,∠ABC=α,
∴∠ABC=∠ACB=α,
∵∠BDE=2α,
∴∠CBD+2α=α+∠ACN,
∴∠CBD+α=∠ACN.
∵∠ABC=α,
∴∠ABD=∠ACN,
∴△ABD≌△ACN,
∴AD=AN,
∴AM⊥DM;
(3)△ADM为等腰直角三角形,
如果AM=DM,则∠ADM=45°,∠AMD=90°.
∵∠DAC+∠CAN=90°,∠CAN=∠BAD,
∴∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°,
∴△ABC为等腰RT△.
∴α=45°.