如何证明一个数是有理数或者证明不是有理数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 17:27:06
如何证明一个数是有理数或者证明不是有理数
如何证明一个数是有理数
或者证明不是有理数
如何证明一个数是有理数或者证明不是有理数
应该说,证明或否定一个数x是有理数,没有固定的办法,必须就事论事.
最初等的办法,就是设x是个有理数,例如x=m/n,m是整数,n是正整数(m的正负与x相同),且m和n互质.由此去推理,如果能求出m和n,则x是有理数;如果推出矛盾,则x是无理数.
例如√2的无理性就是这么证明的(两边平方,……,发现m和n又有公因子了),我们都会了.
再比如,像0.101001000100001...这个数的无理性,我们是设它的循环节有n位来导出矛盾的.
然而,此方法并不是万能的.例如π和e(自然对数的底)的无理性,用上述办法证明是几乎不可能的.所以它们的无理性都有各自的证法.
再比如,e^π(e的π次方)这个数,是否是无理数争议了很久.就是因为无法去证明或否定.
事实上,无理数远比想象的多,不存在一个一般的证法去证明或否定一切数是否是有理数.
有理数分为整数和分数
这个很难的。需要引入数域的概念。
数域是在大学才会接触到的。
证明是有理数,而且在一个封闭的数域Z内部,所有的运算(加减乘除),所得到的结果都在数域Z的内部,才可以。
所以是有一定难度系数。逻辑要求是比较高的。
任何一个有理数都可以在数轴上表示。
有理数包括(整数,有限小数,无限循环小数)
无理数指无限不循环小数
特别要注意的是无限循环小数 很多人常误以为它属于无理数
等到了高中{有理数}={分数}={循环小数}
有理数包括:
1)自然数:数0,1,2,3,……叫做自然数。
2)正数:比0大的数叫做正数。
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任何一个有理数都可以在数轴上表示。
有理数包括(整数,有限小数,无限循环小数)
无理数指无限不循环小数
特别要注意的是无限循环小数 很多人常误以为它属于无理数
等到了高中{有理数}={分数}={循环小数}
有理数包括:
1)自然数:数0,1,2,3,……叫做自然数。
2)正数:比0大的数叫做正数。
3)负数:在正数前面加上“—”(读作“负”)号的数叫做负数。负数都小于0。
4)整数:正整数、0、负整数统称为整数。
5)分数:正分数、负分数统称为分数。
6)奇数:不是2的倍数的整数叫做奇数。如-3,-1,1,5等。所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示,n为整数。
7)偶数:是2的倍数的整数叫做偶数。如-2,0,4,8等。所有的偶数都可用2n表示,n为整数。
8)质数:如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,没有其他因数,这个数就称为质数,又称素数,如2,3,11,13等。2是最小的质数。
9)合数:如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,还有其他因数,这个数就称为合数,如4,6,9,15等。4是最小的合数。
10)互质数:如果两个正整数,除了1以外没有其他因数,这两个整数称为互质数,如2和5,9和13等。 …… 如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理数。
全体有理数构成一个集合,即有理数集,用粗体字母Q表示,较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。
有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。
有理数集是一个域,即在其中可进行四则运算(0作除数除外),而且对于这些运算,以下的运算律成立(a、b、c等都表示任意的有理数):
①加法的交换律 a+b=b+a;
②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c;
③存在数0,使 0+a=a+0=a;
④对任意有理数a,存在一个加法逆元,记作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0;
⑤乘法的交换律 ab=ba;
⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c;
⑦乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。
存在乘法的单位元1≠0,使得对任意有理数a,1a=a;
对于不为0的有理数a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1。
0a=0 文字解释:一个数乘0还等于0。
此外,有理数是一个序域,即在其上存在一个次序关系≤。 0的绝对值还是0.
有理数还是一个阿基米德域,即对有理数a和b,a≥0,b>0,必可找到一个自然数n,使nb>a。由此不难推知,不存在最大的有理数。
值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”。事实上,这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来,在英语中是(rational number),而(rational)通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”。但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为(ratio),就是比率的意思(这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同)。所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”。与之相对,而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理。
收起
只要可以证明出这个数可用分数的形式表示,并且分子分母都是有理数