高数一道关于函数的题目设函数ƒ(Χ)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且已知ƒ(1)=0,求证：至少存在一点ξ∈(0,1),使得ƒ(ξ)+ξƒ'(ξ)=0

高数一道关于函数的题目设函数ƒ(Χ)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且已知ƒ(1)=0,求证：至少存在一点ξ∈(0,1),使得ƒ(ξ)+ξƒ'(ξ)=0
高数一道关于函数的题目
设函数ƒ(Χ)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且已知ƒ(1)=0,求证：至少存在一点ξ∈(0,1),使得ƒ(ξ)+ξƒ'(ξ)=0

高数一道关于函数的题目设函数ƒ(Χ)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且已知ƒ(1)=0,求证：至少存在一点ξ∈(0,1),使得ƒ(ξ)+ξƒ'(ξ)=0
证明：
f(x)在[0,1]连续,令g(x)=xf(x),则g(x)在[0,1]连续
g'(x)=f(x)+xf'(x)
∵g(0)=g(1)=0
∴在(0,1)上存在一点ξ使得g‘(x)=0
即(0,1)上存在一点ξ使得ƒ(ξ)+ξƒ'(ξ)=0

命 g(x)=xf(x) 由初等函数性质可知
g(x)在[0,1]上连续在(0,1)可导
且g(0)=g(1)=0
由罗尔定理知存在一点ξ∈(0,1)使得g'(ξ)=0
即ƒ(ξ)+ξƒ'(ξ)=0即证
关键在于如何构造辅助函数

微分中值定理

见图