求曲线积分∫Γ x²ds ,Γ 是球面x²+y²+z²=a² 与平面x+y+z=0相交的圆周.

求曲线积分∫Γ x²ds ,Γ 是球面x²+y²+z²=a² 与平面x+y+z=0相交的圆周.
求曲线积分∫Γ x²ds ,Γ 是球面x²+y²+z²=a² 与平面x+y+z=0相交的圆周.

求曲线积分∫Γ x²ds ,Γ 是球面x²+y²+z²=a² 与平面x+y+z=0相交的圆周.
积分曲线关于x、y、z三个变量是轮换对称的,因此有
∫ x² ds=∫ y² ds=∫ z² ds
=(1/3)∫ (x²+y²+z²) ds
用曲线方程化简单被积函数
=(1/3)∫ a² ds
=(a²/3)∫ 1 ds
被积函数为1,积分结果是曲线弧长,圆周长是2πa
=2πa³/3