已知8^a+10^b=25^c,求证2/a+3/c=6/b

已知8^a+10^b=25^c,求证2/a+3/c=6/b
已知8^a+10^b=25^c,求证2/a+3/c=6/b

已知8^a+10^b=25^c,求证2/a+3/c=6/b
原式可化为
e^(aln8)+e^(bln10)=e^(cln25)
两边同除e^(cln25)
即e^(aln8-cln25)+e^(bln10-cln25)=1
其中
bln10-cln25=b(ln2+ln5)-2cln5
=bln2+ln5(b-2c)
则原式可进一步化简为
e^(3aln2-2cln5)+e^[bln2+ln5(b-2c)]=1
因为指数函数>0
可设想
e^(3aln2-2cln5)=e^[bln2+ln5(b-2c)]=1/2
即
3aln2-2cln5=bln2+ln5(b-2c)=-ln2
但算得结果b=0
所以此两式必不相等
设3aln2-2cln5是bln2+ln5(b-2c)的x倍
即
3aln2-2cln5=x[bln2+ln5(b-2c)]
则有对应相等
则有
3a=xb
-2c=xb-2xc
联立约去x
得
3a/b=2c/(2c-b)
3a(2c-b)=2bc
6ac-3ab=2bc
两边同除abc
得
6/b-3/c=2/a
即
2/a+3/c=6/b
得证

对数