已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/02 05:22:03
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
首先设f(X)=ax²+bx+c
由二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)可得:
f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax²-(4a+2)x+3a,且a为负数
(1)由题意得:f(x)+6a=ax²-(4a+2)x+9a=0有相同的实根,
则判定式:(4a+2)²-36a²=-20a²+16a+4=0
即-5a²+4a+1=0
解得a=-1/5或1(舍去)
(2)f(x)=ax²-(4a+2)x+3a
有最大值f(x)max=3a-(2a+1)²/a=-a-1/a-4>0,即a²+4a+1>0(注意a为负数,两边同乘a时不等号
要变方向)
解得:a的取值范围为(-∞,-2-√3)并(-2+√3,0)
码字辛苦,
依题意设f(x)=ax²+bx+c,g(x)=ax²+(b+2)x+c,对于这两个函数,自变量x的取值范围是全体实数
由不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)可得:ax²+(b+2)x+c>0并且g(x)=0有两个根x1=1,x2=3,于是根据韦达定理有 x1+x2=-(b+2)/a=4,x1*x2=c/a=3 得b=-2-4a,c=3a,a<0...
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依题意设f(x)=ax²+bx+c,g(x)=ax²+(b+2)x+c,对于这两个函数,自变量x的取值范围是全体实数
由不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)可得:ax²+(b+2)x+c>0并且g(x)=0有两个根x1=1,x2=3,于是根据韦达定理有 x1+x2=-(b+2)/a=4,x1*x2=c/a=3 得b=-2-4a,c=3a,a<0
(1)方程f(x)+6a=0有两个相等的根,即ax²+bx+c+6a=0有两个相等的根, 则判别式b²-4a(c+6a)=0
将前面的结果代入,可得5a²-4a-1=0,得a=-1/5(因a<0,所以舍去了a=1这个值)
b=-6/5,c=-3/5
所以f(x)=-x²/5 -6x/5-3/5
(2)因为当a<0时,二次函数f(x)=ax²+bx+c的最大值在x=-b/2a时取得,即从f(x)的图像上看,其最大值是其顶点的纵坐标值。
f(x)=a(x+b/2a)²+c-b²/4a,f(x)的最大值是c-b²/4a,解方程c-b²/4a>0
即解4ac-b²<0 (a<0,两边同时乘以4a时,不等号要变方向
将前面的结果代入,得到4a*3a-(-2-4a)²<0
化简整理得(a+2)²>3
即|a+2|>√3 ,得到 a+2>√3或者a+2<-√3
结合a<0,得到-2+√3
即a的取值范围是-2+√3
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