已知数列{an}中,a1=1/2,点(n,2a(n+1)-an)(n∈N*)在直线y=x上.(1)计算a2,a3,a4的值;(2)令bn=a(n+1)-an-1,求证:数列{bn}是等比数列;(3)求数列{an}的通项公式.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 03:29:28
已知数列{an}中,a1=1/2,点(n,2a(n+1)-an)(n∈N*)在直线y=x上.(1)计算a2,a3,a4的值;(2)令bn=a(n+1)-an-1,求证:数列{bn}是等比数列;(3)求数列{an}的通项公式.
已知数列{an}中,a1=1/2,点(n,2a(n+1)-an)(n∈N*)在直线y=x上.
(1)计算a2,a3,a4的值;
(2)令bn=a(n+1)-an-1,求证:数列{bn}是等比数列;
(3)求数列{an}的通项公式.
已知数列{an}中,a1=1/2,点(n,2a(n+1)-an)(n∈N*)在直线y=x上.(1)计算a2,a3,a4的值;(2)令bn=a(n+1)-an-1,求证:数列{bn}是等比数列;(3)求数列{an}的通项公式.
(1)由题意得n=2a(n+1)-an则a(n+1)=(n+an)/2 下面的题还需用到n-a(n+1)=a(n+1)-an
a2=3/4
a3=11/8
a4=35/16
(2)bn=a(n+1)-an-1=n-a(n+1)-1
b(n+1)=a(n+2)-a(n+1)-1=(n+1+a(n+1))/2-a(n+1)-1=(n-a(n+1)-1)/2
b(n+1)/bn=1/2常数
所以,数列{bn}是等比数列
(3)b1=a2-a1-1=-3/4
bn=-3/4*(1/2)^(n-1)
a(n+1)-an=bn+1=1-3/4*(1/2)^(n-1)
an-a(n-1)=b(n-1)+1=1-3/4*(1/2)^(n-2)
.
a3-a2=1-3/8
a2-a1=1-3/4
以上各式求和则有
an-a1=n-1-3/2[1-(1/2)^(n-1)]
an=n-2+3/2*(1/2)^(n-1)