已知数列{an}中,a1=1/2,且2a(n+1)-an=n,其中n=1,2,3… 若bn=a(n+1)-an-1(1)求证:数列{bn}是等比数列(2)求数列{an}的通项an注意:(n+1)指的是下标
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 19:43:23
已知数列{an}中,a1=1/2,且2a(n+1)-an=n,其中n=1,2,3… 若bn=a(n+1)-an-1(1)求证:数列{bn}是等比数列(2)求数列{an}的通项an注意:(n+1)指的是下标
已知数列{an}中,a1=1/2,且2a(n+1)-an=n,其中n=1,2,3… 若bn=a(n+1)-an-1
(1)求证:数列{bn}是等比数列
(2)求数列{an}的通项an
注意:(n+1)指的是下标
已知数列{an}中,a1=1/2,且2a(n+1)-an=n,其中n=1,2,3… 若bn=a(n+1)-an-1(1)求证:数列{bn}是等比数列(2)求数列{an}的通项an注意:(n+1)指的是下标
1、
证:
2a(n+1)-an=n
2a(n+1)=an+n
2a(n+1)-2(n+1)+4=an-n+2
[a(n+1)-(n+1)+2]/(an -n +2)=1/2,为定值.
a1 -1 +2=1/2 -1+2=3/2
数列{an -n+2}是以3/2为首项,1/2为公比的等比数列.
an -n+2=(3/2)(1/2)^(n-1)=3/2ⁿ
an=n +3/2ⁿ -2
a2=2+3/4 -2=3/4
b1=a2-a1-1=3/4 -1/2 -1=-3/4
bn=a(n+1)-an -1=(n+1)+3/2^(n+1) -2 -n -3/2ⁿ+2 -1=3/2^(n+1)
b(n+1)/bn=[3/2^(n+2)]/[3/2^(n+1)]=1/2,为定值.
数列{bn}是以-3/4为首项,1/2为公比的等比数列.
2、
由第一问得an=n+3/2ⁿ-2
1、因为2an+1-an=n,所以an+1=(an+n)/2
bn=an+1-an-1=(an+n)/2-an-1=-an/2+n/2-1
bn+1=-an+1/2+(n+1)/2-1=-(an+n)/4+(n+1)/2-1=-an/4+n/4-1/2
所以bn+1=bn/2
数列{bn}是以b1=-3/4为首项,1/2为比的等比数列
2、bn=-3/4*(1/2)n-1
又因为bn=-an/2+n/2-1
所以an=-2(bn+1-n/2)=3/2n+n-2
经验证a1也满足上式
所以an=3/2n+n-2