在数列{an}中,a1=1,an+1=3Sn (n>=1) 求证a2,a3……an为等比数列.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 09:36:10

在数列{an}中,a1=1,an+1=3Sn (n>=1) 求证a2,a3……an为等比数列.
在数列{an}中,a1=1,an+1=3Sn (n>=1) 求证a2,a3……an为等比数列.

在数列{an}中,a1=1,an+1=3Sn (n>=1) 求证a2,a3……an为等比数列.
a(n+1)=3S(n),
a(n)=3S(n-1),
又a(n)=S(n)-S(n-1),
则S(n)-S(n-1)=3S(n-1)=>S(n)=4S(n-1),
a(n+1)/a(n)=3S(n)/3S(n-1)=4S(n-1)/S(n-1)=4为整数,又a(1)不等于0,所以是等比数列

a(n+1)=3Sn
an=3S(n-1)
an=Sn-S(n-1),(n>=2)
3an=3Sn-3S(n-1)=a(n+1)-an
a(n+1)=4an
{an}是以a2为首项,4为公比的等比数列

A(n+1)=S(n+1)-Sn=3Sn
S(n+1)=4Sn
{Sn}是公比为4的等比数列
S1=A1=1
Sn=4^(n-1)
n>=2时
An=Sn-S(n-1)
=4^(n-1)-4^(n-2)
=3×4^(n-2)
{An}从第二项开始是等比数列