作业帮已知函数f（x）=alnx-1/2x^2+1/2 已知函数f（x）=alnx-1/2x^2+1/2（a属于R 且a不等于零）1.求f（x）的单调区间2.是否存在实数a,使的对任意的x属于[1,+无穷）,都有f（x）小于等于零?,若存在,求a的取值范
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 09:00:28
已知函数f（x）=alnx-1/2x^2+1/2 已知函数f（x）=alnx-1/2x^2+1/2（a属于R 且a不等于零）1.求f（x）的单调区间2.是否存在实数a,使的对任意的x属于[1,+无穷）,都有f（x）小于等于零?,若存在,求a的取值范
已知函数f（x）=alnx-1/2x^2+1/2
已知函数f（x）=alnx-1/2x^2+1/2（a属于R 且a不等于零）
1.求f（x）的单调区间
2.是否存在实数a,使的对任意的x属于[1,+无穷）,都有f（x）小于等于零?,若存在,求a的取值范围
已知函数f（x）=alnx-1/2x^2+1/2 已知函数f（x）=alnx-1/2x^2+1/2（a属于R 且a不等于零）1.求f（x）的单调区间2.是否存在实数a,使的对任意的x属于[1,+无穷）,都有f（x）小于等于零?,若存在,求a的取值范
1,求导：f‘（x）=a/x-x+0=(a-x²)/x,其中,a≠0,x＞0
分类讨论如下：
第一,当a＜0时,a-x²＜0,又x＞0,所以,f‘（x）=(a-x²)/x＜0,函数单调递减
所以,当a＜0时,f（x）在x＞0上单调递减
第二,当a＞0时,令f‘（x）=0,即：(a-x²)/x=0
解得：x=√a或x=-√a（不合舍去）
当0＜x＜√a时,a-x²＞0,所以f‘（x）=(a-x²)/x＞0,函数单调递增
当x＞√a时,a-x²＜0,所以f‘（x）=(a-x²)/x＜0,函数单调递减
所以,当a＞0时,f（x）的单调增区间为[0,√a],f（x）的单调减区间为[√a,正无穷)
2,由1解答可知,
第一,当a＜0时,f（x）在x＞0上单调递减即在[1,正无穷）也为单调递减,
所以,f（x）存在最大值为f（1）=0,满足≤0,所以a＞0的数可使的对任意的x属于[1,+无穷）,都有f（x）小于等于零.
第二,当a＞0时,f（x）的单调增区间为[0,√a],f（x）的单调减区间为[√a,正无穷)
又可分如下讨论：
（1）,当1＜√a时,即a＞1,
f（x）在[1,+无穷）的单调增区间为[1,√a],f（x）的单调减区间为[√a,正无穷）
所以,f（x）存在最大值为f（√a）=aln√a-1/2a+1/2＞f（1）=0,
由于当a＞1时,f（x）max＞0即没有小于等于0,所以不合,a＞1不满足.
（2）当1≥√a时,即：0＜a≤1,f（x）在[1,+无穷）的单调递减
f（x）存在最大值为f（1）=0,满足题意,即a≤1满足
综上所述,a＞0或0＜a≤1
中午回答时有点急,答得不好,现在改回来,希望对你有帮助,goodluck!