设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{根号Sn}是公差为2的等差数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an/2^n}的前n项和Tn.

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{根号Sn}是公差为2的等差数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an/2^n}的前n项和Tn.
设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{根号Sn}是公差为2的等差数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an/2^n}的前n项和Tn.

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{根号Sn}是公差为2的等差数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an/2^n}的前n项和Tn.
1、
√S1=√a1
√S2=√(a1+a2)=√a1+2 (1)
√S3=√(a1+a2+a3)=√(3a2)=√a1+4 (2)
由(1)得
a1+a2=a1+4√a1+4
√a1=(a2-4)/4
代入(2)
√(3a2)=(a2-4)/4 +4
整理,得
a2²-24a2+144=0
(a2-12)²=0
a2=12
a1=(a2-4)²/16=(12-4)²/16=4
√S1=√a1=2
√Sn=√S1+2(n-1)=2+2(n-1)=2n
Sn=4n² Sn-1=4(n-1)²
an=Sn-Sn-1=4n²-4(n-1)²=8n-4
n=1时,a1=8-4=4,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=8n-4.
2、
an/2^n=(8n-4)/2^n=8n/2^n-4/2^n
Tn=a1/2^1+a2/2^2+...+an/2^n
=8(1/2^1+2/2^2+...+n/2^n)-4(1/2+1/2^2+...+1/2^n)
令Cn=1/2^1+2/2^2+...n/2^n
则Cn/2=1/2^2+2/2^3+...+(n-1)/2^n+n/2^(n+1)
Cn-Cn/2=Cn/2=1/2+1/2^2+...+1/2^n-n/2^(n+1)=(1/2)(1-1/2^n)/(1-1/2)-n/2^(n+1)
=1-1/2^n-n/2^(n+1)
Cn=2-1/2^(n-1)-n/2^n
Tn=8[2-1/2^(n-1)-n/2^n]-4(1/2)(1-1/2^n)/(1-1/2)
=12-1/2^(n-4)-n/2^(n-3)+1/2^(n-2)
一楼解答错误,a1是可以求出来的.

由题可知
S(1)=[a(1)]^(1/2);
S(n)=[a(1)+a(2)+.....+a(n)]^(1/2)=S(1)+(n-1)*2;
对上式进行平方, 可得:
a(1)+a(2)+.....+a(n) = a(1) + 4*(n-1)*[a(1)]^(1/2) + 4*(n-1)^2;
a(1)+a(2)+.....+a(n-1) = a(1) +...

全部展开

由题可知
S(1)=[a(1)]^(1/2);
S(n)=[a(1)+a(2)+.....+a(n)]^(1/2)=S(1)+(n-1)*2;
对上式进行平方, 可得:
a(1)+a(2)+.....+a(n) = a(1) + 4*(n-1)*[a(1)]^(1/2) + 4*(n-1)^2;
a(1)+a(2)+.....+a(n-1) = a(1) + 4*(n-2)*[a(1)]^(1/2) + 4*(n-2)^2;
前式减后式, 得:
a(n) = 4*[a(1)]^(1/2) +8n - 12;
即为数列的形式通相公式, 只要得到a(1), 就可以得到{a(n)}的通项公式, 而这一公式可以通过已知条件
2a(2) = a(1) + a(3)求得, 具体有:
a(2) = 4*[a(1)]^(1/2) +4;
a(3) = 4*[a(1)]^(1/2) +12
带入已知条进, 可以得:
a(1) - 4*[a(1)]^(1/2) +4 =0;
则有: a(1)=4;
进而得到{a(n)}通项公式:
a(n)=8n-4=4+8*(n-1); (n>0).
(2)
{b(n)}={a(n)/2^n}, 可以求得其通项公式:
b(n)=(8n-4)/2^n;
后面不会求了，

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