f(x1+x2)=f(x1)f(x2),f’(0)=2,求f(x)和f’(x)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/17 09:17:58
f(x1+x2)=f(x1)f(x2),f’(0)=2,求f(x)和f’(x)
f(x1+x2)=f(x1)f(x2),f’(0)=2,求f(x)和f’(x)
f(x1+x2)=f(x1)f(x2),f’(0)=2,求f(x)和f’(x)
由f(x1+x2)=f(x1)f(x2),得该函数类型为
f(x)=b*a∧x(指数型函数)
f(x)'=b(a∧x)㏑a
所以f'(0)=blna=2
所以a=e∧n,b=2/n所以f(x)=(2/n)e∧(nx)(n!=0)
f'(x)=2e∧x(题目应该还缺条件给你加个条件:f(1)=2e,则f(x)=2e∧x)
f(x)=e^(2x)
f'(x)=2e^(2x)答案猜下就差不多出来了,要过程可以看看田增伦的函数方程一书,有解释谢了,不过我要采纳下面那个了- -有趣,如果函数小于零,如何取对数?明显大于0你取x1=x2可得f(x)>=0而且f(0)可以求出来等于1你必须把这句写在前面,证明大于零后,才能取对数...
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f(x)=e^(2x)
f'(x)=2e^(2x)
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两边取对数
lnf(x1+x2)=lnf(x1)+lnf(x2)
令g(x)=lnf(x)
则g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)
由柯西定理知g(x)=[g(1)]^x
故lnf(x)=xlnf(1)
设f(1)=a
则f(x)=a^x
又f'(x)=a^xlna f'(0)=2
即lna=2 a=e^2
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两边取对数
lnf(x1+x2)=lnf(x1)+lnf(x2)
令g(x)=lnf(x)
则g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)
由柯西定理知g(x)=[g(1)]^x
故lnf(x)=xlnf(1)
设f(1)=a
则f(x)=a^x
又f'(x)=a^xlna f'(0)=2
即lna=2 a=e^2
故f(x)=e^(2x)
f'(x)=2e^(2x)
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令x1=x2=0,则f(0)=f(0)^2,得f(0)=0或1;
若f(0)=0,则对任意x,f(x)恒等于0,而f'(0)=2,所以f(0)=1;
[f(x+△x)-f(x)]/△x=[f(x)f(△x)-f(x)]/△x, 两边取极限△x->0,
左边=f'(x),右边=f(x)[f(△x)-1]/△x ****;
△x->0,[f(△x)-1]/△x=,[f...
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令x1=x2=0,则f(0)=f(0)^2,得f(0)=0或1;
若f(0)=0,则对任意x,f(x)恒等于0,而f'(0)=2,所以f(0)=1;
[f(x+△x)-f(x)]/△x=[f(x)f(△x)-f(x)]/△x, 两边取极限△x->0,
左边=f'(x),右边=f(x)[f(△x)-1]/△x ****;
△x->0,[f(△x)-1]/△x=,[f(△x)-f(0)]/△x=f'(0)=2,
由***式得 f'(x)=2f(x),f(0)=1;
解微分方程得f(x)=e^(2x);
f'(x)=2e^(2x)
另外,上边取对数的解答,致命错误为没证明f(x)>0;证明即可。柯西定理用的有错吧。略改后就得到中学解法。
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f'(x)=[f(x+△x)-f(x)]/△x=f(x)(△x-1)/△x=f(x)
我只能到这里了。