设x1与x2分别是实系数方程：ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的一个根,且x1不等于x2,x1不等于0,x2不等于0.求证：方程（a/2）x^2+bx+c=0,有且仅有一根,介于x1和x2之间

设x1与x2分别是实系数方程：ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的一个根,且x1不等于x2,x1不等于0,x2不等于0.求证：方程（a/2）x^2+bx+c=0,有且仅有一根,介于x1和x2之间
设
x1与x2
分别是实系数方程：
ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的一个根,
且x1不等于x2,x1不等于0,x2不等于0.
求证：方程（a/2）x^2+bx+c=0,有且仅有一根,介于x1和x2之间

设x1与x2分别是实系数方程：ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的一个根,且x1不等于x2,x1不等于0,x2不等于0.求证：方程（a/2）x^2+bx+c=0,有且仅有一根,介于x1和x2之间
如果(a/2)x2+bx+c=0必有一根在x1与x2之间
则(ax1^2/2+bx1+c)(ax2^2/2+bx2+c)<0
只要证明这个式子即可.
ax1^2/2+bx1+c=ax1^2+bx1+c-ax1^2/2
因为x1为ax^2+bx+c=0的根
所以ax1^2+bx1+c=0
所以ax1^2/2+bx1+c=-ax1^2/2
同理ax2^2/2+bx2+c=3ax2^2/2
所以(ax1^2/2+bx1+c)(ax2^2/2+bx2+c)
=(-ax1^2/2)(3ax2^2/2)
=-3a^2x1^2x2^2/4
因为x1,x2是非零实根,且ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0是二次方程
所以x1,x2,a都不等于0
所以-3a^2x1^2x2^2/4<0,即
(ax1^2/2+bx1+c)(ax2^2/2+bx2+c)<0
命题得证

f(-1+x)=f(-1-x)
则对称轴x=-1
所以-b/(2a)=-1
b=2a
与直线y=x只有一个公共点
则方程ax^2+bx=x有两个相等的解
b=2a
所以ax^2+(2a-1)x=0
x[ax+(2a-1)]=0
x=0,x=-(2a-1)/a
有两个相等的解
-(2a-1)/a=0
a=1/2，b=1
f(x)=x^2/2+x