已知等腰直角三角形ABC,∠A=90°,D为边AB的中点,过点A作CD的垂线交BC与E点,连接DE,求证角ADC=角BDE
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/01 00:30:22
已知等腰直角三角形ABC,∠A=90°,D为边AB的中点,过点A作CD的垂线交BC与E点,连接DE,求证角ADC=角BDE
已知等腰直角三角形ABC,∠A=90°,D为边AB的中点,过点A作CD的垂线交BC与E点,连接DE,求证角ADC=角BDE
已知等腰直角三角形ABC,∠A=90°,D为边AB的中点,过点A作CD的垂线交BC与E点,连接DE,求证角ADC=角BDE
证明:延长AE到F,使AF=CD,连结BF.
因为 角A=90度,AE垂直于CD,
所以 角ACD=角EAB,
又因为 AB=AC,
所以 三角形ACD全等于三角形BAF(边、角、边),
所以 AD=BF,角ADC=角F,角ABF=角BAC=90度,
因为 等腰直角三角形ABC中,角A=90度,
所以 角ABC=45度,
所以 角FBE=90度--45度=45度,
因为 D为AB的中点,
所以 AD=BD,
所以 BF=BD,
因为 BF=BD,角FBE=角ABC=45度,BE=BE,
所以 三角形FBE全等于三角形DBE,
所以 角F=角BDE,
因为 角ADC=角F,
所以 角ADC=角BDE.
∵∠CAB=90°,AE⊥CD,∴∠EAB=∠DCA,又AC=AB,
过B作AB的垂线交AE的延长线于F,那么Rt△FAB≌Rt△DCA,得∠F=∠ADC,BF=AD=BD;
∵△ABC是等腰直角三角形∴∠ABC=45°,∵BF⊥AB,∴∠FBD=90°,∠FBE=45°=∠DBE,
那么△FBE≌△DBE,得∠F=∠BDE。联前得∠ADC=∠F=∠BDE。...
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∵∠CAB=90°,AE⊥CD,∴∠EAB=∠DCA,又AC=AB,
过B作AB的垂线交AE的延长线于F,那么Rt△FAB≌Rt△DCA,得∠F=∠ADC,BF=AD=BD;
∵△ABC是等腰直角三角形∴∠ABC=45°,∵BF⊥AB,∴∠FBD=90°,∠FBE=45°=∠DBE,
那么△FBE≌△DBE,得∠F=∠BDE。联前得∠ADC=∠F=∠BDE。
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