已知：如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE上,连接DG并延长交AE于F,若∠FGE=45°．（1）求证：BD•BC=BG•BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E为AC的中点,求EF：

已知：如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE上,连接DG并延长交AE于F,若∠FGE=45°．（1）求证：BD•BC=BG•BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E为AC的中点,求EF：
已知：如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE上,连接DG并延长交AE于F,若∠FGE=45°．
（1）求证：BD•BC=BG•BE；
（2）求证：AG⊥BE；
（3）若E为AC的中点,求EF：FD的值．

已知：如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE上,连接DG并延长交AE于F,若∠FGE=45°．（1）求证：BD•BC=BG•BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E为AC的中点,求EF：
分析：（1）根据题意,易证△GBD∽△CBE,得 BD/BE=BG/BC,即BD•BC=BG•BE；
（2）可通过证明ABG∽△EBA从而求得AG⊥BE；
（3）EF：FD=1：10．
证明：（1）∵∠BAC=90°,AB=AC
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠BGD=∠FGE=45°
∴∠C=∠BGD
∵∠GBC=∠GBC
∴△GBD∽△CBE
∴ BD/BE=BG/BC
即BD•BC=BG•BE；
（2）∵BD•BC=BG•BE,∠C=45°,
∴BG= BD•BC/BE= 12BC•BC/BE= 1/2(√2AB)²/BE= AB²/BE,
∴ AB/BG= BE/AB,∠ABG=∠EBA
∴△ABG∽△EBA
∴∠BGA=∠BAE=90°
∴AG⊥BE；
（3）∵EF：AF=EG：AG=AE²：（EB•AG）= 1/2,EF= 1/3AE,DE= 1/2AB,DF= 10/3AE
∴EF：FD=1：√10．

要证BD*BC=BG*BE只需证三角形BDG相似三角形BEC
因为 角CBE=角CBE
又因为 角FGE=角BGD
所以 角BGD=角C
所以 三角形BDG=三角形BEC
所以 BD/BG=BE/BC

∠BGD=∠FGE=45° 对顶角
△BAC是等腰直角三角形，∠BCA也是45°
∠BGD=∠BCA
∠GBD=∠EBC 同一个角
△BGD∽△BCE
BD:BE=BG:BC
BD•BC=BG•BE
后面两题你多给点分吧

（1）∠BGD=∠FGE=∠BCA=45°
∠GBD=∠EBC
△BGD∽△BCE
BD:BE=BG:BC
BD•BC=BG•BE
（2）△BAD∽△BCA
BD•BC=BA•BA=BG•BE
△BGA∽△BAE
∠BGA=∠BAC=90 °
AG⊥BE

我做第二问：
由第一题可得：BD•BC=BG•BE
因为：BD=AB/根号2
BC=根号2倍的AB
所以：BD•BC=BG•BE 可得到：AB的平方=BG•BE 又因为：角ABE为公共角。
所以三角形ABG相似于三角形EAB。
所以角AGB=90度。 所以AG⊥BE

（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠BGD=∠FGE=45°
∴∠C=∠BGD
∵∠GBC=∠GBC
∴△GBD∽△CBE
∴
即BD•BC=BG•BE；
（2）证明：∵BD•BC=BG•BE，∠C=45°，
∴BG====，
∴=，...

全部展开

（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠BGD=∠FGE=45°
∴∠C=∠BGD
∵∠GBC=∠GBC
∴△GBD∽△CBE
∴
即BD•BC=BG•BE；
（2）证明：∵BD•BC=BG•BE，∠C=45°，
∴BG====，
∴=，∠ABG=∠EBA
∴△ABG∽△EBA
∴∠BGA=∠BAE=90°
∴AG⊥BE；
（3）连接DE，
连接DE，E是AC中点，D是BC中点，
∴DE∥BA，
∵BA⊥AC，
∴DE⊥AC，设AB=2a AE=a，做CH⊥BE交BE的延长线于H，
∵∠AEG=∠CEH，∠AGE=∠CHE，AE=EC
∴△AEG≌△CEH（AAS），
∴CH=AG，
∠GAE=∠HCE
∵∠BAE为直角，
∴BE=a，
∴AG=AB×=a=a，
∴CH=a，
∵AG⊥BE，∠FGE=45°，
∴∠AGF=45°=∠ECB，
∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB；
∴∠DFE=∠BCH，
又∵DE⊥AC，CH⊥BE，
∴△DEF∽△BHC
∴EF：DF=CH：BC=a：2a=：10．

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