已知一次函数y=(m-4)x+的焦点(3+n)(其中x是因变量),当m,n为( )是,函数图像与y轴的交点在x轴下方顺便再好好给我讲讲函数,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 22:03:47
已知一次函数y=(m-4)x+的焦点(3+n)(其中x是因变量),当m,n为( )是,函数图像与y轴的交点在x轴下方顺便再好好给我讲讲函数,
已知一次函数y=(m-4)x+的焦点(3+n)(其中x是因变量),当m,n为( )是,函数图像与y轴的交点在x轴下方
顺便再好好给我讲讲函数,
已知一次函数y=(m-4)x+的焦点(3+n)(其中x是因变量),当m,n为( )是,函数图像与y轴的交点在x轴下方顺便再好好给我讲讲函数,
要使函数图象与y轴的交点在x轴下方,则应使m+4≠0,-3+n<0,
一次函数y=(m+4)x-3+n中令x=0,得到y=-3+n
函数图象与y轴的交点在x轴下方得到-3+n<0
解得n<3
y=(m+4)x-3+n是一次函数,因而m+4≠0
∴m≠-4,即当m、n为m≠-4,n<3时,函数图象与y轴的交点在x轴下方
故本题答案为:m≠-4,n<3.
一次函数y=(m+4)x-3+n中令x=0,得到y=-3+n
函数图象与y轴的交点在x轴下方得到-3+n<0
解得n<3
y=(m+4)x-3+n是一次函数,因而m+4≠0
∴m≠-4,即当m、n为m≠-4,n<3时,函数图象与y轴的交点在x轴下方
故本题答案为:m≠-4,n<3.
函数是位于数学领域中的一种对应关系,是从非空数集A到实数集B的对应。...
全部展开
一次函数y=(m+4)x-3+n中令x=0,得到y=-3+n
函数图象与y轴的交点在x轴下方得到-3+n<0
解得n<3
y=(m+4)x-3+n是一次函数,因而m+4≠0
∴m≠-4,即当m、n为m≠-4,n<3时,函数图象与y轴的交点在x轴下方
故本题答案为:m≠-4,n<3.
函数是位于数学领域中的一种对应关系,是从非空数集A到实数集B的对应。 简单地说,甲随着乙变,且乙所对应的甲只有一个,甲就是乙的函数。 精确地说,设X是一个非空集合,Y是非空数集 ,f是个对应法则,若对X中的每个x,按对应法则f,使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ,就称对应法则f是X上的一个函数,记作y=f(x),称X为函数f(x)的定义域,集合{y|y=f(x),x∈X}为其值域R(值域是Y的子集),x叫做自变量,y叫做因变量,习惯上也说y是x的函数。对应法则、定义域、值域是函数的三要素。
对应法则不变性
指的是当某个函数y=f(x)给定后两个变量间的映射" f ( )" 就随之确定了。即f(2x+1)与f(x)指同一对应法则(但不一定是同一函数)。主要包括: ①域的作用不变性: (定义域可能变了)即在确定的映射f:下 f 括号里的取值范围不变性; 值域不变性。 ②函数表达结构不变性(解析式可能变了)
方法解读
定义域:指自变量 x的取值范围(受式子意义和实际意义的限制) 对应法则不变性指条件中的函数f ( )和要求的问题中的函数f( )是同一映射;
在一个变化过程中,发生变化的量叫变量,有些数值是不随变量而改变的,我们称它们为常量。 自变量,函数一个与它量有关联的变量,这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。 因变量(函数),随着自变量的变化而变化,且自变量取唯一值时,因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。 函数值,在y是x的函数中,x确定一个值,Y就随之确定一个值,当x取a时,Y就随之确定为b,b就叫做a的函数值。
映射定义
设A和B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一个元素a,在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应,那么,这样的对应(包括集合A,B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射(Mapping),记作f:A→B。其中,b称为a在映射f下的象,记作:b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。 则有:定义在非空数集之间的映射称为函数。(函数的自变量是一种特殊的原象,因变量是特殊的象)
几何含义
函数与不等式和方程存在联系(初等函数)。令函数值等于零,从几何角度看,对应的自变量的值就是图象与X轴的交点的横坐标;从代数角度看,对应的自变量是方程的解。另外,把函数的表达式(无表达式的函数除外)中的“=”换成“<”或“>”,再把“Y”换成其它代数式,函数就变成了不等式,可以求自变量的范围。
函数的集合论
如果X到Y的二元关系f:X×Y,对于每个x∈X,都有唯一的y∈Y,使得
定义域、对应域和值域
输入值的集合X被称为f的定义域;可能的输出值的集合Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。注意,把对应域称作值域是不正确的,函数的值域是函数的对应域的子集。
函数的有界性
设函数f(x)的定义域为D,数集X包含于D。如果存在数K1,使得f(x)≤K1对任一x∈X都成立,则称函数f(x)在X上有上界,而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。如果存在数K2,使得f(x)≥K2对任一x∈X都成立,则称函数f(x)在X上有下界,而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。如果存在正数M,使得|f(x)|<=M对任一x∈X都成立,则称函数f(x)在X上有界,如果这样的M不存在,就称函数f(x)在X上无界。 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。
函数的单调性
设函数f(x)的定义域为D,区间I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1
函数的奇偶性
设f(x)为一个实变量实值函数,则f为奇函数若下列的方程对所有实数x都成立: f(x) = - f( - x) 或f( -x) = - f(x) 几何上,一个奇函数与原点对称,亦即其图在绕原点做180度旋转后不会改变。 奇函数的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。 设f(x)为一实变量实值函数,则f为偶函数若下列的方程对所有实数x都成立: f(x) = f( - x) 几何上,一个偶函数会对y轴对称,亦即其图在对y轴为镜射后不会改变。 偶函数的例子有|x|、x^2、cos(x)和cosh(sec)(x)。 偶函数不可能是个双射映射。
函数的周期性
设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数l,使得对于任一x∈D有(x士l)∈D,且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期,通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间,若D为有界的,则改函数不具周期性。 并非每个周期函数都有最小正周期,例如狄利克雷(Dirichlet)函数
一次函数
I、定义与定义式:自变量x和因变量y有如下关系: y=kx+b(k,b为常数,k≠0)则称y是x的一次函数。特别地,当b=0时,即y=kx时,y是x的正比例函数。 II、一次函数的性质: y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k 即y/x=k III、一次函数的图象及性质: 1. 作法与图形:通过如下3个步骤 (1)列表(一般找4-6个点); (2)描点; (3)连线,可以作出一次函数的图象。(用平滑的曲线连接) 2.性质:在一次函数图象上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。 3. k,b与函数图象所在象限。当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大; 当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。当b>0时,直线必通过一、二象限当b<0时,直线必通过三、四象限。 特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图象。这时,当k>0时,直线只通过一、三象限与原点。当k<0时,直线只通过二、四象限与原点。 IV、确定一次函数的表达式:已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程: y1=kx1+b①和 y2=kx2+b②。 (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 V、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-b/k,0)两点 VI、一次函数在生活中的应用 1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。反比例函数形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数的图象为双曲线。如图,上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图象。
二次函数
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c (a≠0)(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。x是自变量,y是x的函数。 二次函数的三种表达式 一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k) 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a)]交点式:y=a(x-x1)(x-x 2) [仅限于与x轴有交点A(x1 ,0)和B(x2,0)的抛物线]其中x1,x2= (-b±√(b^2-4ac))/(2a) 注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:______h=-b/(2a) k=(4ac-b^2)/(4a) x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a 二次函数的图象 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图象, 二次函数
可以看出,二次函数的图象是一条抛物线。 二次函数标准画法步骤 (在平面直角坐标系上) (1)列表 (2)描点 (3)连线 抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a(顶点式 x=h)。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a ) 当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。 |a|越大,则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0,c),c是纵截距。 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a) 当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变 当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0) 二次函数与一元二次方程 特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c, 当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程), 即ax^2+bx+c=0 此时,函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式 y=ax^2 ;y=a(x-h)^2 ; y=a(x-h)^2+k ; y=ax^2+bx+c 对应顶点坐标 (0,0) ; (h,0) ; (h,k) ; (-b/2a,(4ac-b^2)/4a) 对应对称轴 x=0 ; x=h ; x=h ; x=-b/2a 当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到, 当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到. 当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象 当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象 当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象 当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象 因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便. 2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a). 3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤-b/2a时,y随x的增大而减小,函数是减函数;当x ≥-b/2a时,y随x的增大而增大,函数是增函数.若a<0,当x ≤-b/2a时,y随x的增大而增大,函数是增函数;当x ≥-b/2a时,y随x的增大而减小,函数是减函数. 4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点: (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c); (2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A |(A为其中一点) 当△=0.图象与x轴只有一个交点 当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0. 5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a. 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值. 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式: y=ax^2+bx+c(a≠0). (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0). (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
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