如图,抛物线Y=x^2+4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.①求点A的坐标;②以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 12:37:57
如图,抛物线Y=x^2+4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.①求点A的坐标;②以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有
如图,抛物线Y=x^2+4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
①求点A的坐标;
②以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
③设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当4+6√2
如图,抛物线Y=x^2+4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.①求点A的坐标;②以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有
(1)因为抛物线方程为:y=X^2+4X
配方得:y=(X+2)^2-4,
所以抛物线的顶点坐标为(-2,-4). 即A的坐标为(-2,-4)
(2)令y=0,解得X=0或-4,
所以B点坐标为(-4,0),
因为A点到X轴距离是4
所以根据勾股定理得:AB=OA=2√5
情形一:若以A、B、O、P为顶点的四边形是菱形
因为OB=4<2√5,所以OB<AB=OA
所以AB、OB或OA、OB不能同时作为菱形的边
所以只能是OA、AB作为菱形的两边,OB作为菱形的对角线
所以P点是A点关于X轴的对称点
所以P点坐标为P1(-2,4)
(因为此时OP1//AB,所以P1一定在直线L上)
情形二:若以A、B、O、P为顶点的四边形是等腰梯形
因为OB=4<2√5,所以OB<AB=OA
所以只能是OB作为梯形的一腰
容易求出直线L的解析式是Y=-2X
因为P在L上,所以可设其坐标是P(X,-2X)
因为PA=OB=4,A点坐标是(-2,-4)
所以根据勾股定理得:
(X+2)^2+(-2X+4)^2=16
解得:X=2/5或X=2
因为当X=2时,四边形ABOP是平行四边形,不合题意
所以X=2/5
此时P的坐标是P2(2/5,-4/5)
情形三:若以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形
显然只能是AB作为梯形的下底
过A、B分别作L的垂线,垂足分别为P4、P3(两点坐标均可表示为(X,-2X))
设O到AB的距离是H,根据三角形面积公式可得下列等式:AB*H=OB*4
所以H=8√5/5,即AP4=AP3=8√5/5
根据勾股定理得:OA^2=AP4^2+OP3^2
将OA=2√5,AP4=8√5/5代入得:OP4=6√5/5
所以得5X^2=36/5,X=6/5(-6/5舍去)
所以此时P点坐标为P4(6/5,-12/5)
同理可求出P3(4/5,-8/5)
即以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形时P点坐标是P3(4/5,-8/5)或P4(6/5,-12/5)
(3)
因为直线L的解析式是:y=-2X,P的坐标伟(X,-2X),
此时以A、B、O、P为顶点的四边形可以看着是一个梯形,
上底为OP=√5|X|,下底为AB=2√5,高为H=8√5/5,
所以S=(√5|X|+2√5)*(8√5/5)/2
=4|X|+8
所以有:4+6√2<4|X|+8<6+8√2
所以:3√2/2-1<|X|<2√2-1/2
所以当X>0时,X的取值范围是3√2/2-1<X<2√2-1/2
当X<0时,3√2/2-1<-X<2√2-1/2
所以:X<1-3√2/2或X>1/2-2√2
所以当X<0时,X的取值范围是:1/2-2√2<X<1-3√2/2
牛
第二问的P3是错的 应为 (-4/5,8/5)