Γ(x)称为伽马函数,他的一个性质Γ(1/2)=√π怎么证明啊?

Γ(x)称为伽马函数,他的一个性质Γ(1/2)=√π怎么证明啊?
Γ(x)称为伽马函数,他的一个性质Γ(1/2)=√π怎么证明啊?

Γ(x)称为伽马函数,他的一个性质Γ(1/2)=√π怎么证明啊?
Γ（1/2)=int(e^x/sqrt(x),x=0..+无穷）
(就是x^(1/2-1)*e^x从0到正无穷的积分)
换元积分,令sqrt(x)=t,则
e^x/sqrt(x)=e^(t^2)/t
x=t^2,dx=2tdt
由x的范围可知t的范围也是0到正无穷
所以
Γ(1/2)=int(e^(t^2)*2t/t,t=0..+无穷)
=int(2e^(t^2),t=0..+无穷）
而e^(t^2)从0到正无穷的积分是sqrt(Pi)/2,（根据正态分布的密度函数）
（或者利用极坐标的二重积分计算该积分的平方,）
所以Γ(1/2)=sqrt(Pi)