已知P(x,y)是椭圆x²/100+y²/36=1上的点,求3x+4y 的最大值与最小值

已知P(x,y)是椭圆x²/100+y²/36=1上的点,求3x+4y 的最大值与最小值
已知P(x,y)是椭圆x²/100+y²/36=1上的点,求3x+4y 的最大值与最小值

已知P(x,y)是椭圆x²/100+y²/36=1上的点,求3x+4y 的最大值与最小值
证法一：
依椭圆参数方程,可设
x＝10cosθ,y＝6sinθ.
∴3x+4y
＝30cosθ+24sinθ
＝6√41sin(θ+φ) (tanφ＝5/4）
∵sin(θ+φ)∈[-1,1],
故所求最大值为：6√41,
所求最小值为：-6√41.
证法二：
依权方和不等式(或柯西不等式)得
1＝x²/100+y²/36
＝(3x)²/900+(4y)²/576
≥(3x+4y)²/(900+576)
→(3x+4y)²≤1476
→-6√41≤3x+4y≤6√41.
所求最大值为：6√41；
所求最小值为：-6√41.

x²/100+y²/36=1
设x=10cosa
y=6sina
3x+4y
=30cosa+24sina
=6(4sina+5cosa)
=6√(4²+5²)sin(a+φ)............其中tanφ=5/4，不影响结果
=6√41sin(a+φ)
最大值=6√41
最小值=...

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x²/100+y²/36=1
设x=10cosa
y=6sina
3x+4y
=30cosa+24sina
=6(4sina+5cosa)
=6√(4²+5²)sin(a+φ)............其中tanφ=5/4，不影响结果
=6√41sin(a+φ)
最大值=6√41
最小值=-6√41
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