作业帮已知向量a=（cosωx+√3sinωx,f（x））,b=（cosωx,－1）,其中ω＞0,且a⊥b,又函数f（x）的图像两相邻对称轴之间的距离为3/2π,求函数f（x）在区间［-π,π/2］上的值域.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 00:41:26
已知向量a=（cosωx+√3sinωx,f（x））,b=（cosωx,－1）,其中ω＞0,且a⊥b,又函数f（x）的图像两相邻对称轴之间的距离为3/2π,求函数f（x）在区间［-π,π/2］上的值域.
已知向量a=（cosωx+√3sinωx,f（x））,b=（cosωx,－1）,其中ω＞0,且a⊥b,又函数f（x）的图像两相邻对称轴之间的距离为3/2π,求函数f（x）在区间［-π,π/2］上的值域.
已知向量a=（cosωx+√3sinωx,f（x））,b=（cosωx,－1）,其中ω＞0,且a⊥b,又函数f（x）的图像两相邻对称轴之间的距离为3/2π,求函数f（x）在区间［-π,π/2］上的值域.
∵向量a⊥向量b,
∴a.b=0,即 (cosωx+√3sinωx)*cosωx+f(x)*(-1)=0.
f(x)=cos^2(ωx)+√3sinωxcosωx.
=(1+cos2ωx)/2+(√3/2)*2sinωxcosωx.
=(1/2)cos2ωx+(√3/2)sin2ωx+1/2.
=sin2ωxcosπ/6+cos2ωxsinπ/6+1/2.
∴f(x)=sin(2ωx+π/6)+1/2.
由题设知：f(x)的最小周期T=2*(3π/2)=3π.
又,T=2π/2ω=3π,
∴ω=1/3.
∴f(x)=sin(2x/3+π/6)+1/2.
∵x∈[-π,π/2],(2x/3+π/6)∈[-π/2,π/2].
又∵f(x)在[-π/2.π/2]上,单调递增,∴sin(2x/3+π/6)=sinπ/2=1时,函数取得最大值：
f(x)max=1+1/2.
=3/2.
sin(2x/3+π/6)=sin(-π/2)=-1时,函数取得最小值：
f(x)min=-1+1/2
=-1//2
.∴f(x)∈[-1/2,3/2].---所求函数f(x)=sin(2x/3+π/6)+1/2在x∈[-π,π/2] 上的值域.