已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax^2-x(a≠0)(I)若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像在公共点P处有相同的切线,求实数a的值并求P的坐标.(II)若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像有两个不同的交点M、N求a的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 23:19:29
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax^2-x(a≠0)(I)若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像在公共点P处有相同的切线,求实数a的值并求P的坐标.(II)若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像有两个不同的交点M、N求a的取值范围.
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax^2-x(a≠0)
(I)若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像在公共点P处有相同的切线,求实数a的值并求P的坐标.
(II)若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像有两个不同的交点M、N求a的取值范围.
(III)在(II)的条件下,过线段MN的中点作x轴的垂线分别为与f(x)的图像和g(x)的图像交S、T点,以S为切点f(x)的切线l1,以T为切点作g(x)的切线l2,是否存在实数a使得l1‖l2,如果存在,求处a的值,若果不存在,请说明理由.
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax^2-x(a≠0)(I)若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像在公共点P处有相同的切线,求实数a的值并求P的坐标.(II)若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像有两个不同的交点M、N求a的取值范围.
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(1)设P坐标(lnx0,x0)
有:lnx0=ax0^2-x0
又:f'(x0)=1/x0=g'(x0)=2ax0-1 => 2ax0^2-x0=1
代入前式,得:
2lnx0=1-x0 => x0=1 (函数2lnx与1-x从图像看只有一个交点)
所以,a=1,P点坐标为(0,1)
(2)根据上一题,(1)中描述的是两图像相切的状态,这...
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(1)设P坐标(lnx0,x0)
有:lnx0=ax0^2-x0
又:f'(x0)=1/x0=g'(x0)=2ax0-1 => 2ax0^2-x0=1
代入前式,得:
2lnx0=1-x0 => x0=1 (函数2lnx与1-x从图像看只有一个交点)
所以,a=1,P点坐标为(0,1)
(2)根据上一题,(1)中描述的是两图像相切的状态,这时两图像仅有一个交点。
要想有两个交点,很简单,只需将抛物线g(x)与x轴的右交点(左交点是固定的,永远是原点0,0)再往右移动即可。
而g(x)与x轴的右交点的坐标是(0,1/a),所以0注意,a不能<0,因为从图像上看,开口向下,且要经过(0,0)原点的抛物线是不可能与函数f(x)=lnx有两个交点的。
(3)设MN的中点为U,M,N的横坐标分别为x1,x2,U的横坐标为(x1+x2)/2
对于任意抛物线来说,有这样一个命题成立:
抛物线上任意两点MN的连线,其中点U映射到抛物线上的点T,则过T点作抛物线的切线,这条切线必与MN平行。(这个命题的证明不难,自己证一下吧)
所以,我们只要找到一个MN的中点U,使其映射到f(x)=lnx上的点S的切线l1与MN平行即可,能找到这样的点吗?
M,N的坐标分别为(lnx1,x1),(lnx2,x2)
MN的斜率=ln(x1/x2)/(x1-x2)
l1的斜率=f'[(x1+x2)/2]=2/(x1+x2)
两个斜率要相等,则:
ln(x1/x2)=2(x1-x2)/(x1+x2)=2-4/(x1/x2+1)
容易看出,当x1/x2=1时,等式是成立。此时x1=x2,不合题意,舍去。
问题是:这个方程还有没有其它解?
令:z=x1/x2
则:lnz=2-4/(z+1)
令F(z)=lnz,G(z)=2-4/(z+1)
F'(z)=1/z,G'(z)=4/(z+1)^2
F'(z)-G'(z)=(z-1)^2/[z(z+1)^2]>=0 (x1和x2均>0)
即,当z≠1时,恒有F'(z)>G'(z)
从而证明了两函数只有一个交点,即原式只有唯一z=x1/x2=1
故证明了这样的a是不存在的。
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tal_wang 第二题的解答不严谨。有错误。