在一个周长90厘米的圆上有A,B,C三个点将圆周三等分,甲乙丙三个虫子分别同时从三个点出发,按顺时针方向运动,他们的速度分别是10,5,3,求三个虫子需要多少时间重合?

在一个周长90厘米的圆上有A,B,C三个点将圆周三等分,甲乙丙三个虫子分别同时从三个点出发,按顺时针方向运动,他们的速度分别是10,5,3,求三个虫子需要多少时间重合?
在一个周长90厘米的圆上有A,B,C三个点将圆周三等分,甲乙丙三个虫子分别同时从三个点出发,按顺时针方向运动,他们的速度分别是10,5,3,求三个虫子需要多少时间重合?

在一个周长90厘米的圆上有A,B,C三个点将圆周三等分,甲乙丙三个虫子分别同时从三个点出发,按顺时针方向运动,他们的速度分别是10,5,3,求三个虫子需要多少时间重合?
以最慢的虫子出发的地点为原点.
则重合时,
第一只虫子走了若干圈；
第二只虫子走了若干圈+30厘米；
第三只虫子走了若干圈+60厘米
注意：这三个若干可能是不相等的.
90a/10+60/10=90b/5+30/5=90c/3
9a+6=18b+6=30c
3a+2=6b+2=10c
a=2b
a=(10c-2)/3=(9c-3+c+1)/3=3c-1+(c+1)/3
b=(10c-2)/6=(12c-6-2c+4)/6=2c-1-(c-2)/3
只要c,a,b均为整数就可以.
最小的一组是：
c=5 a=16 b=8
最少需要时间：90*16/10+60/10=150(分钟)
当然,当c=5+(6的整数倍)时,三只虫子还会不断重合.

设丙走了 x 时间和甲乙重合与一点。三人都花了一样的时间，路程有差别。假设乙丙重合的时候，乙比丙多走了m圈加30，甲比丙多走了n圈加60。
m,n 都是正整数。要满足下边关系
3x = 5x - 30 - 90m （1）
3x = 10x - 60 - 90n （2）
由（2），得 7x = 60 + 90n （3）
最小的解 n=4，x=6

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设丙走了 x 时间和甲乙重合与一点。三人都花了一样的时间，路程有差别。假设乙丙重合的时候，乙比丙多走了m圈加30，甲比丙多走了n圈加60。
m,n 都是正整数。要满足下边关系
3x = 5x - 30 - 90m （1）
3x = 10x - 60 - 90n （2）
由（2），得 7x = 60 + 90n （3）
最小的解 n=4，x=6
代回 （1），得 2x =30 + 90m （4）
无解。
再用 （3）的另一组解 n= 11 ，x= 150
再把这组解代回 （4），得 m=3。 符合。
解为 x= 150.

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