若tan(α+β)=2tanα,求证3sinβ=sin(2α+β).

若tan(α+β)=2tanα,求证3sinβ=sin(2α+β).
若tan(α+β)=2tanα,求证3sinβ=sin(2α+β).

若tan(α+β)=2tanα,求证3sinβ=sin(2α+β).
∵tan(α+β)=2tanα,
∴sin(α+β)/cos(α+β)=2sin(α)/cos(α)
∴sin(α+β)*cos(α)=2cos(α+β)*sin(α)
∴2sin(α+β)*cos(α)=4cos(α+β)*sin(α)
∴3sin(α+β)*cos(α)-3cos(α+β)*sin(α)=sin(α+β)*cos(α)+cos(α+β)*sin(α)
∴3sin[(α+β)-α]=sin(α+β)*cos(α)+cos(α+β)*sin(α)
∴3sin(β)=sin[(α+β)+α]
即:3sinβ=sin（2α+β)

tan(α+β)=2tanα,
sin(α+β)/cos(α+β)=2sin(α)/cos(α)
sin(α+β)*cos(α)=2cos(α+β)*sin(α)
2sin(α+β)*cos(α)=4cos(α+β)*sin(α)
3sin(α+β)*cos(α)-3cos(α+β)*sin(α)=sin(α+β)*cos(α)+cos(α+β)*sin(α)

全部展开

tan(α+β)=2tanα,
sin(α+β)/cos(α+β)=2sin(α)/cos(α)
sin(α+β)*cos(α)=2cos(α+β)*sin(α)
2sin(α+β)*cos(α)=4cos(α+β)*sin(α)
3sin(α+β)*cos(α)-3cos(α+β)*sin(α)=sin(α+β)*cos(α)+cos(α+β)*sin(α)
3sin[(α+β)-α]=sin(α+β)*cos(α)+cos(α+β)*sin(α)
3sin(β)=sin[(α+β)+α]
所以3sinβ=sin（2α+β)

收起