已知点C(1,0),点A、B是圆O:x^2+y^2=9上任意两个不同的点,且满足向量AC*向量BC=0,设P为弦AB的中点1.求点P的轨迹T的方程2.试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 10:27:20
已知点C(1,0),点A、B是圆O:x^2+y^2=9上任意两个不同的点,且满足向量AC*向量BC=0,设P为弦AB的中点1.求点P的轨迹T的方程2.试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距
已知点C(1,0),点A、B是圆O:x^2+y^2=9上任意两个不同的点,且满足向量AC*向量BC=0,设P为弦AB的中点
1.求点P的轨迹T的方程
2.试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在说明理由
麻烦给出详解,
已知点C(1,0),点A、B是圆O:x^2+y^2=9上任意两个不同的点,且满足向量AC*向量BC=0,设P为弦AB的中点1.求点P的轨迹T的方程2.试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距
1.连结OA、OP,设点P坐标为(x,y)
∵P是AB中点
∴OP⊥AB
又∵向量AC·向量BC=0
∴AC⊥BC
则点P是Rt△ABC斜边中点
∴PC=PA=PB
那么OA²=OP²+PA²
即OA²=OP²+PC²
9=x²+y²+(x-1)²+y²
2x²-2x+2y²+1=9
x²-x+y²=4
(x-1/2)²+y²=17/4
∴点P的轨迹T的方程是:(x-1/2)²+y²=17/4
2.设满足条件的点的坐标为(m,n)
则m²-m+n²=4 ①
(m+1)²=(m-1)²+n² ②
由②得:n²=(m+1)²-(m-1)²=4m
代入①:m²-m+4m=4
m²+3m-4=0
(m+4)(m-1)=0
m=-4 或 m=1
若m=-4,则n²=-16(舍)
若m=1,则n²=4
n=±2
解得:
m1=1 或 m2=1
n1=2 n2=-2
∴满足条件的点的坐标为(1,2)和(1,-2)