一个椭圆与x轴y轴分别交于A（2,0）,B（0,1）,一条直线y=kx（k＞0）与椭圆交于M,N两点,求由A,B,M,N组成的四边形的面积的最大值.

一个椭圆与x轴y轴分别交于A（2,0）,B（0,1）,一条直线y=kx（k＞0）与椭圆交于M,N两点,求由A,B,M,N组成的四边形的面积的最大值.
一个椭圆与x轴y轴分别交于A（2,0）,B（0,1）,一条直线y=kx（k＞0）与椭圆交于M,N两点,求由A,B,M,N组成的四边形的面积的最大值.

一个椭圆与x轴y轴分别交于A（2,0）,B（0,1）,一条直线y=kx（k＞0）与椭圆交于M,N两点,求由A,B,M,N组成的四边形的面积的最大值.
a=2.b=1
椭圆方程为x^2/4+y^2=1
y=kx与椭圆在第一象限交点为
根据椭圆的参数方程
令M（2cosθ,sinθ) ,θ∈(0,π/2)
由A,B,M,N组成的四边形面积
S=SΔMAN+SΔMBN
=2*1/2*OA*sinθ+2*1/2*OB*2cosθ
=2(sinθ+cosθ)
=2√2sin(θ+π/4)≤2√2
θ=π/4时,取等号
所以由A,B,M,N组成的四边形的面积最大值为2√2

由题意可得a=2，b=1，椭圆方程为x^2/4+y^2=1。设直线y=kx交椭圆第一象限的点为（x1，y1），则另一个点为（-x1，-y1）。将直线y=kx代入到x^2/4+y^2=1中得x1=2/√（1+4k^2）。而A,B,M,N组成的四边形的面积表达式为x1+2y1=x1+2kx1=(1+2k)x1=(1+2k)2/√（1+4k^2）。所以得四边形的面积x1+2y1=2√（1+2k）^2/√...

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由题意可得a=2，b=1，椭圆方程为x^2/4+y^2=1。设直线y=kx交椭圆第一象限的点为（x1，y1），则另一个点为（-x1，-y1）。将直线y=kx代入到x^2/4+y^2=1中得x1=2/√（1+4k^2）。而A,B,M,N组成的四边形的面积表达式为x1+2y1=x1+2kx1=(1+2k)x1=(1+2k)2/√（1+4k^2）。所以得四边形的面积x1+2y1=2√（1+2k）^2/√（1+4k^2）=2√[1+4k/(1+4k^2)]≤2√2,但且仅当k=1/2时取到。两种解法都可以，楼上的比较简单。

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