已知函数f(x)=x³+bx²+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0,f′(x)为函数的导函数,g(x)=ae的x次方(a,b,c属于R)(1)求b,c的值.(2)若存在Xo属于(0,2],使得g(Xo)=f′﹙x﹚成立,求a的取值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/04 04:12:54
已知函数f(x)=x³+bx²+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0,f′(x)为函数的导函数,g(x)=ae的x次方(a,b,c属于R)(1)求b,c的值.(2)若存在Xo属于(0,2],使得g(Xo)=f′﹙x﹚成立,求a的取值
已知函数f(x)=x³+bx²+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0,f′(x)为函数的导函数,
g(x)=ae的x次方(a,b,c属于R)(1)求b,c的值.(2)若存在Xo属于(0,2],使得g(Xo)=f′﹙x﹚成立,求a的取值范围.
已知函数f(x)=x³+bx²+cx在x=1处的切线方程为6x-2y-1=0,f′(x)为函数的导函数,g(x)=ae的x次方(a,b,c属于R)(1)求b,c的值.(2)若存在Xo属于(0,2],使得g(Xo)=f′﹙x﹚成立,求a的取值
1)f;'(x)=3x^2+2bx+c
f(1)=1+b+c
f'(1)=3+2b+c
在x=1处的切线为y=(3+2b+c)(x-1)+1+b+c=(3+2b+c)x-b-2
对比所给的切线方程y=3x-1/2,得:3+2b+c=3,-b-2=-1/2
解得:b=-3/2,c=3
2)g(x)=ae^x,当x0在(0,2]时,g(x)的范围在a与ae^2之间
f'(x)=3x^2-3x+3=3(x-1/2)^2+9/4>=9/4
当a>0时,应有ae^2>=9/4,得; a>=9/(4e^2)
当a=9/(4e^2)
:(1)∵f′(x)=3x2+2bx+c,
∴f(x)在x=1处的切线方程为y-(1+b+c)=(3+2b+c)(x-1),
即y=(3+2b+c)x-2-b,
∴3+2b+c=3-2-b=-
12,即b=-
32c=3,
∴f(x)=x3-
32x2+3x.
(2)若存在x0∈(0,2]使g(x0)=f′...
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:(1)∵f′(x)=3x2+2bx+c,
∴f(x)在x=1处的切线方程为y-(1+b+c)=(3+2b+c)(x-1),
即y=(3+2b+c)x-2-b,
∴3+2b+c=3-2-b=-
12,即b=-
32c=3,
∴f(x)=x3-
32x2+3x.
(2)若存在x0∈(0,2]使g(x0)=f′(x0)成立,
即方程g(x)=f′(x)在(0,2]上有解,
∴a•ex=3x2-3x+3,
∴a=
3x2-3x+3ex,
令h(x)=
3x2-3x+3ex,
∴h′(x)=
6x-3-3x2+3x-3ex
=-3x2+9x-6ex
=-3(x2-3x+2)ex,
令h′(x)=0,得x1=1,x2=2,列表讨论:
x (0,1) 1 (1,2) 2 h′(x)- 0+ 0 h(x)↓ 极小值↑ 极大值∴h(x)有极小值h(1)=3e,h(x)有极大值h(2)=9e2,
且当x→0时,h(x)→3>9e2,
∴a的取值范围是[
3e,3).
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