比较1+2x^4与2x^3+x^2的大小
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 07:22:28
比较1+2x^4与2x^3+x^2的大小
比较1+2x^4与2x^3+x^2的大小
比较1+2x^4与2x^3+x^2的大小
1+2x^4-(2x^3+x^2)
=2x^4-2x^3-(x^2-1)
=2x^3(x-1)-(x-1)(x+1)
=(x-1)(2x^3-x-1)
=(x-1)(x-1)(2x^2+2x+1)
=(x-1)^2(2(x+1/2)^2+1/2)≥0
所以
1+2x^4≥2x^3+x^2
1+2x^4-(2x^3+x^2)=2x^4-2x^3-x^2+1
=(2x^4-2x^3+x^2)+2x^4-2x^2+1
=两个都是完全平方式
所以1+2x^4〉=2x^3+x^2
x=1时二者相等
A==2X^4+1
B==2X^3+X^2
A-B=2X^4+1-(2X^3+X^2)
=2X^4-2X^3-X^2+1
=2X^3(X-1)-(X-1)(X+1)
=(X-1)(2X^3-X-1)
=(X-1)(X-1)(2X^2+2X+1)
=(X-1)^2×[X^2+(X+1)^2]
而x为实数不等于1,所以(X-1)^2>0,X^2+(X+1)^2>0
即A-B>0
故A>B
(1+2x^4)-(2x^3+x^2)
=2x^3(x-1)-(x+1)(x-1)
=(x-1)(2x^3-x-1)
=(x-1)[(x^3-x)+(x^3-1)]
=(x-1)[x(x+1)(x-1)+(x-1)(x^2+x+1)]
=(x-1)^2(z^2+x+x^2+x+1)
=(x-1)^2(2x^2+2x+1)
2x^2+2x+1
=2(x+1/2)^2+1/2>0
所以
(1+2x^4)-(2x^3+x^2)≥0
即1+2x^4≥2x^3+x^2
当且仅当x=1时取等号
(1+2x^4)-(2x^3+x^2)
=2x^4-2x^3-x^2+1
=(2x^3)(x-1)-(x^2-1)
=(x-1)(2x^3-x-1)……《1》
当x=1时,《1》式=0,则1+2x^4=2x^3+x^2
当x》1时,《1》〉0,则1+2x^4 〉2x^3+x^2
当x《1时,《1》>0,则1+2x^4 > 2x^3+x^2