1)用二项式定理证明 （n+1)^n -1 能被n^2整除2）求（X+ 1/X -1)^5展开式的常数项

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 08:06:33

1)用二项式定理证明 （n+1)^n -1 能被n^2整除2）求（X+ 1/X -1)^5展开式的常数项
1)用二项式定理证明 （n+1)^n -1 能被n^2整除
2）求（X+ 1/X -1)^5展开式的常数项

1)用二项式定理证明 （n+1)^n -1 能被n^2整除2）求（X+ 1/X -1)^5展开式的常数项
1.当n=1或2时,明显成立.
当n≥3时,证明如下.
（n+1）＾n-1
=C(n,0)n^n+C(n,1)n^(n-1)+……+C(n,n-2)n^2+C(n,n-1)+C(n,n)-1
=C(n,0)n^n+C(n,1)n^(n-1)+……+C(n,n-2)n^2+C(n,n-1)n
对3以上的数除去最后一项都很容易看出是n^2的整数倍,
而最后一项变形后就是C(n,1)n,即n^2,即得证.
2.那个5是指数么,看成整体来做先展开C（组合数）（5,0）(x+1/x)^5+C（5,1）(x+1/x)^4(-1)^1+C（5,2）(x+1/x)^3(-1)^2+C（5,3）(x+1/x)^2(-1)^3+C（5,4）(x+1/x)^1(-1)^4+C（5,5）(-1)^5
出现常数项就是要x和1/x的指数相等
有可能出现常数的项有C（5,1）(x+1/x)^4(-1)^1、C（5,3）(x+1/x)^2(-1)^3、C（5,5）(-1)^5它们常数项依次为-C（5,1）C（4,2）、-C（5,3）C（2,1）、-C（5,5）相加可以得到 -（5*6+10*2+1）=-51

1）根据二项式定理：（n+1)^n -1=C（n，0）n^0+C（n，1）n^1+……+C（n，n）n^n-1=n^2[C（n，1）+C（n，2）+……C（n，n）]
已经提取了n^2 这样楼主应该会了吧
2）（X+ 1/X -1)^5展开式的常数项为将x+1/x看作是一项
然后 常数项 C（5，0）(x+1/x)^0*（-1）^5=-1
所以常数项就是-...

全部展开

1）根据二项式定理：（n+1)^n -1=C（n，0）n^0+C（n，1）n^1+……+C（n，n）n^n-1=n^2[C（n，1）+C（n，2）+……C（n，n）]
已经提取了n^2 这样楼主应该会了吧
2）（X+ 1/X -1)^5展开式的常数项为将x+1/x看作是一项
然后 常数项 C（5，0）(x+1/x)^0*（-1）^5=-1
所以常数项就是-1
楼上做错了吧 比如说（x+1/x）^2 哪里来的常数项 化化看就知道了

收起

2楼错了，一楼对了。
（x+1/x）^2=x²+2+1/x²，中间的为常数项。

2楼错了，一楼对了

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