怎样证明数列(1+1/n)^n是单调有界数列

怎样证明数列(1+1/n)^n是单调有界数列
怎样证明数列(1+1/n)^n是单调有界数列

怎样证明数列(1+1/n)^n是单调有界数列
设x(n)=[1+(1/n)]^n
利用二项式展开有
x(n)=1+[n*(1/n)]+[n(n-1)/(n^2*2!)]+
[n(n-1)(n-2)/(n^3*3!)]+……
+[n(n-1)(n-2)……*3*2*1/(n^n*n!)]
整理得x(n)=1+1+{[1-(1/n)]/2!}+{[1-(1/n)][1-(2/n)]/3!}
+……+{[1-(1/n)][1-(2/n)]……[1-(n-1/n)]}/n!
所以 x(n+1)=1+1+{[(1-1/n+1)]/2!}+
{[1-(1/n+1)][1-(2/n+2)]/3!}+……
+{[1-(1/n+1)][1-(2/n+1)]……[1-(n-1/n+1)]}/n!+
{[(1-1/n+1)][(1-2/n+1)]……[(1-n/n+1)]/(n+1)!}
[1-(1/n)]

同济五版高数上P52
n->无穷 极限为e

记Xn＝(1＋1/n)^n，按二项式定理展开：
Xn＝(1＋1/n)^n
＝1＋n/1!×1/n＋n(n-1)/2!×1/n^2＋n(n-1)(n-2)/3!×1/n^3＋.......＋n(n-1)(n-2)......*2*1/n!×1/n^n
＝1＋1＋1/2!×(1－1/n)＋1/3!×(1－1/n)(1－2/n)＋......＋1/n!×(1－1/n)(1－2/n...

全部展开

记Xn＝(1＋1/n)^n，按二项式定理展开：
Xn＝(1＋1/n)^n
＝1＋n/1!×1/n＋n(n-1)/2!×1/n^2＋n(n-1)(n-2)/3!×1/n^3＋.......＋n(n-1)(n-2)......*2*1/n!×1/n^n
＝1＋1＋1/2!×(1－1/n)＋1/3!×(1－1/n)(1－2/n)＋......＋1/n!×(1－1/n)(1－2/n)...[1－(n-1)/n]
X(n+1)＝[1＋1/(n+1)]^(n+1)
＝1 ＋ (n+1)/1!×1/(n+1) ＋ n(n+1)/2!×1/(n+1)^2 ＋ (n+1)n(n-1)/3!×1/(n+1)^3＋.......＋(n+1)n(n-1)(n-2)......*2/n!×1/(n+1)^n ＋ (n+1)n(n-1)(n-2)......*2*1/(n+1)!×1/(n+1)^(n+1)
＝1＋1＋1/2!×(1－1/(n+1))＋1/3!×(1－1/(n+1))(1－2/(n+1))＋......＋1/n!×[1－1/(n+1)][1－2/(n+1)]...[1－(n-1)/(n+1)]＋1/(n+1)!×[1－1/(n+1)][1－2/(n+1)]...[1－(n-1)/(n+1)][1－n/(n+1)]
X(n+1)比Xn多一项，且除了前面两个1以外的其余每项都比Xn的对应项小，所以Xn＜X(n+1)，所以数列{(1＋1/n)^n}单调
又
0＜Xn＝1＋1＋1/2!×(1－1/n)＋1/3!×(1－1/n)(1－2/n)＋......＋1/n!×(1－1/n)(1－2/n)...[1－(n-1)/n]
＜1＋1＋1/2!＋1/3!＋...＋1/n!
＜1＋1＋1/2＋1/2^2＋...＋1/2^(n-1)
＝3－1/2^n
＜3
所以，数列{(1＋1/n)^n}有界

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