数列an中,a1=-3,a(n+1)=an-3分之1-3an,bn=1+an分之an-1.(1)证明{bn}是等比数列.(2)若cn等于(2n+3)比上bn,Tn等于c1加到cn,求证Tn小于7.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/17 10:43:38

数列an中,a1=-3,a(n+1)=an-3分之1-3an,bn=1+an分之an-1.(1)证明{bn}是等比数列.(2)若cn等于(2n+3)比上bn,Tn等于c1加到cn,求证Tn小于7.
数列an中,a1=-3,a(n+1)=an-3分之1-3an,bn=1+an分之an-1.(1)证明{bn}是等比数列.(2)若cn等于(2n+3)比上bn,Tn等于c1加到cn,求证
Tn小于7.

数列an中,a1=-3,a(n+1)=an-3分之1-3an,bn=1+an分之an-1.(1)证明{bn}是等比数列.(2)若cn等于(2n+3)比上bn,Tn等于c1加到cn,求证Tn小于7.
(1)b(n+1)/bn={[a(n+1)-1]/[1+a(n+1)]}/[(an-1)/(1+an)].(1)
将a(n+1)=an-3分之1-3an代入(1)式,得b(n+1)/bn=2,所以{bn}是等比数列.
(2)b1=(-3-1)/(1-3)=2,故bn=2^n(2的n次方)
cn=(2n+3)/2^n(****注意观察会发现Cn为等差比数列!)
Tn=∑cn=5/2+7/4+……+(2n+3)/2^n.(2)
0.5*Tn= 5/4+……+(2n+1)/2^n+(2n+3)/2^(n+1).(3)
2*[(2)式-(3)]式得,
Tn=7-2*(1/2)^(n-1)-(2n+3)/2^(n+1)
显然2*(1/2)^(n-1)>0,(2n+3)/2^(n+1)>0
所以Tn