已知a+b+c=600,S²=1/3[a^2+b^2+c^2-120000],求a、b、c为何值时,s^2有最小值,最小值是多少?a、b、c＞0

已知a+b+c=600,S²=1/3[a^2+b^2+c^2-120000],求a、b、c为何值时,s^2有最小值,最小值是多少?a、b、c＞0
已知a+b+c=600,S²=1/3[a^2+b^2+c^2-120000],求a、b、c为何值时,s^2有最小值,最小值是多少?
a、b、c＞0

已知a+b+c=600,S²=1/3[a^2+b^2+c^2-120000],求a、b、c为何值时,s^2有最小值,最小值是多少?a、b、c＞0
等式a+b+c=600两边平方得,
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ab)=360000
因为a^2+b^2≥2ab
a^2+c^2≥2ac
b^2+c^2≥2bc
所以360000=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ab)≤3（a^2+b^2+c^2）
a^2+b^2+c^2≥120000
此时,a=b=c=600/3=200
所以S²=1/3[a^2+b^2+c^2-120000]≥1/3[120000-120000]=0
即a=b=c=200时,s^2有最小值,为0

本不想做了，但感觉下面的推理中，硬性让a=b=c没有实际推导，属于硬性假设，所以推导如下：