AB为抛物线y²＝2px（p＞0）过焦点的一条弦,A、B在抛物线上,F为焦点.求证1/AF＋1/BF＝2/p

AB为抛物线y²＝2px（p＞0）过焦点的一条弦,A、B在抛物线上,F为焦点.求证1/AF＋1/BF＝2/p
AB为抛物线y²＝2px（p＞0）过焦点的一条弦,A、B在抛物线上,F为焦点.求证1/AF＋1/BF＝2/p

AB为抛物线y²＝2px（p＞0）过焦点的一条弦,A、B在抛物线上,F为焦点.求证1/AF＋1/BF＝2/p
设A(x1,y1) B(x2,y2)
直线AB为ky=x-p/2
然后与抛物线联立即可,得到
y^2-2kpy-p^2=0
所以y1y2=-p^2,y1+y2=2kp
所以x1x2=(ky1+p/2)(ky2+p/2)=k^2y1y2+(kp/2)(y1+y2)+(p^2/4)=p^2/4
x1+x2=k(y1+y2)+p=p(2k^2+1)
那么根据抛物线的定义,
AF=x1+(p/2),BF=x2+(p/2)
那么
1/AF+1/BF
=1/(x1+(p/2))+1/(x2+(p/2))
=(x1+x2+p)/[x1x2+(p/2)(x1+x2)+p^2/4]
然后把x1+x2=k(y1+y2)+p=p(2k^2+1),x1x2=p^2/4带入后化简得到
1/AF+1/BF=2/p