已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y^=2px(p﹥0)上的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足∣OA+OB∣=∣OA-OB∣,设圆C的方程为x^+y^-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.(注:OA,OB上全都有箭头)1、证明线段AB的圆C的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/03 08:13:56
已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y^=2px(p﹥0)上的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足∣OA+OB∣=∣OA-OB∣,设圆C的方程为x^+y^-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.(注:OA,OB上全都有箭头)1、证明线段AB的圆C的
已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y^=2px(p﹥0)上的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足∣OA+OB∣=∣OA-OB∣,设圆C的方程为x^+y^-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.
(注:OA,OB上全都有箭头)
1、证明线段AB的圆C的直径;2、当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为(2根号下5)/5时,求P的值.
第一题已证明
第二小题 请问为什么在OA垂直于OB的时候取到最小值?
没有人回答么...QAQ
已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y^=2px(p﹥0)上的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足∣OA+OB∣=∣OA-OB∣,设圆C的方程为x^+y^-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.(注:OA,OB上全都有箭头)1、证明线段AB的圆C的
OA与OB总是垂直的,这是题目条件|OA+OB| = |OA-OB|的推论.
因为其平方得OA²+2OA·OB+OB² = OA²-2OA·OB+OB²,得OA·OB = 0,即OA与OB垂直.
由此可知AB中点是Rt△AOB的外接圆圆心.
而易见⊙C 以AB中点为圆心并经过O点,由此⊙C就是Rt△AOB的外接圆,故AB是⊙C的直径.
即证明了第一问.
第二问由A,B在抛物线y² = 2px上,有y₁² = 2px₁,y₂² = 2px₂,相乘得(y₁y₂)² = 4p²x₁x₂.
又OA·OB = 0即x₁x₂+y₁y₂ = 0,代入得(y₁y₂)² = -4p²y₁y₂.
而y₁y₂ = -x₁x₂ ≠ 0,故y₁y₂ = -4p².
于是((y₁+y₂)/2)² = (y₁²+y₂²+2y₁y₂)/4 = p(x₁+x₂)/2-2p²,
即圆心轨迹方程为y² = px-2p².
可求得其斜率为1/2的切线的切点为(3p,p),切线方程2y = x-p.
其与2y = x的距离为p/√5.
可知当且仅当p = 2时距离最小值为2√5/5.