正方形ABCD,E、F分别为AD、AB中点,连接DF、CE交于点P,连接BP,求证BP=BC

正方形ABCD,E、F分别为AD、AB中点,连接DF、CE交于点P,连接BP,求证BP=BC
正方形ABCD,E、F分别为AD、AB中点,连接DF、CE交于点P,连接BP,求证BP=BC

正方形ABCD,E、F分别为AD、AB中点,连接DF、CE交于点P,连接BP,求证BP=BC
证明：
取CD中点G,连结BG,交CE于点N,连结GP
在△CDE和△DAF中
DE=AF,CD=DA,∠CDE=∠DAF=90°
所以△CDE≌△DAF
所以∠ECD=∠FDA
而∠FDA+∠FDC=90°
所以∠ECD+∠FDC=90°
所以∠DPC=90°
而GD=GC
所以GP=GC
又四边形BFDG是平行四边形
所以GB‖DF(即DP‖GN)
而GD=GC
所以GN是△DPC的中位线
所以NC=NP
在△GNP和△GNC中
GP=GC,NP=NC,GN=GN
所以△GNP≌△GNC
所以∠PNG=∠CNG=90°
又NP=NC
所以BG是CP的中垂线
所以BP=BC

延长DF交CB延长线于H, 则易证△ADF≌△BHF,故BH=AD
又AD=BC
∴BH=BC
∵AD=CD, ∠DAF=∠CDE, AF=DE
∴△ADF≌△DCE
∴∠ECD=∠ADF
∵∠ADF+∠CDP=90°
∴∠ECD+∠CDP=90°
∴∠CPD=∠CPH=90°
∵BH=BC
∴PB=1/2HC=BC