如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是AC的中点,AF⊥BD交BD于点E交BC于点F连接DF求证∠ADB=∠CDF

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 10:51:30

如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是AC的中点,AF⊥BD交BD于点E交BC于点F连接DF求证∠ADB=∠CDF
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是AC的中点,AF⊥BD交BD于点E交BC于点F连接DF求证∠ADB=∠CDF

如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是AC的中点,AF⊥BD交BD于点E交BC于点F连接DF求证∠ADB=∠CDF
作CE⊥AC,交AF的延长线于M.
∵AF⊥BD,
∴∠ABE+∠BAE=90度.
∵∠BAC=90度,
∴∠EAD+∠EAB=90度.
∴∠DAE=∠ABE.
在△ACM和△BAD中,∠DAE=∠ABE,AC=AB,∠ACM=∠BAD=90度.
∴△ACM全等△BAD,
∴∠M=∠ADB,AD=CM.
∵AD=DC,∴CM=CD.在△CMF和△CDF中,CF=CF,∠MCF=∠DCF=45度,CM=CD.
∴△CMF全等△CDF,
∴∠M=∠CDF,
∴∠ADB=∠CDF.

证明:
作AG平分∠BAC,交BD于点G
∵∠BAC=90°,AE⊥BD
∴∠ABE+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABE=∠CAE
∵AB=AC,∠C=∠BAG=45°
∴△ABG≌△CAF
∴AG=CF
∵∠C=∠DAG=45°,DA=DC
∴△DAG≌△DCF
∴∠ADB=∠CDF