已知a,b,c,d均为非零实数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd 证a^2=b^2=c^2=d^2

已知a,b,c,d均为非零实数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd 证a^2=b^2=c^2=d^2
已知a,b,c,d均为非零实数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd 证a^2=b^2=c^2=d^2

已知a,b,c,d均为非零实数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd 证a^2=b^2=c^2=d^2
’------------------------------
思路呢,其实就是配出"0+0" ,也就是平方加上平方.
‘------------------------------
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0
’----------------------------------
应该知道这个经典的式子吧：(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
其实你就可以把题目中的a^4看成是“a^2”
为了配出完全平方,我们可以减去一个 2(ab)^2 和一个2(cd)^2 ,
使之与a^4和b^4,c^4和d^4 配成完全平方的式子.当然 有借有还,我们
最后还得再加上他们俩,而他们俩又恰好与与 4abcd 配成完全平方,于是整理
出如下的式子：
‘----------------------------------
[a^4-2(ab)^2+b^4]+[c^4-2(cd)^2+d^4]+[2(ab)^2-4abcd+2(cd)^2]=0
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
∵(a^2-b^2)^2≥0,(c^2-d^2)^2≥0,2(ab-cd)^2≥0
∴a^2=b^2,c^2=d^2,ab=cd
又a,b,c,d均为非零实数
∴a^2=b^2=c^2=d^2