设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数,求证:f(x)=0无整数根.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 08:35:36

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数,求证:f(x)=0无整数根.
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数,求证:f(x)=0无整数根.

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数,求证:f(x)=0无整数根.
反证法
假设f(x)=0有整数根,设整数根为m,另一根为n
则f(x)=a(x-m)(x-n)=ax^-(am+an)x+amn
由于f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0)中,a,b,c均为整数
得am+an和amn为整数,又m为整数,所以an必为整数
由f(0)=amn=(an)m为奇数可知m和an均为奇数,则1-m为偶数
由f(1)=a(1-n)(1-m)=(a-an)(1-m),由于1-m为偶数且a-an为整数
得f(1)为偶数,与条件f(1)为奇数相矛盾
即假设不成立
所以f(x)=0无整数根