设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.

设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.
设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.

设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.
令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax,
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0,解得x＝e^(a－1)－1,
当x＞e^(a－1)－1时,g′(x)＞0,g(x)为增函数,
当-1＜x＜e^(a－1)－1,g′(x)＜0,g(x)为减函数,
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e^(a－1)－1≤0．
由此得a≤1,即a的取值范围是（－∞,1]．