已知函数f(x)=e^x+2x^2-3x.求证函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/09 00:43:35

已知函数f(x)=e^x+2x^2-3x.求证函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点
已知函数f(x)=e^x+2x^2-3x.求证函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点

已知函数f(x)=e^x+2x^2-3x.求证函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点
f(x)=e^x+2x^2-3x
f'(x)=e^x+4x-3
f'(0)=-20,故f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点.

极值点一定是驻点,而驻点不一定是极值点,求证一阶导数等于0的点在0到1之间即可.

f'(x)=e^x+4x-3,易知f'(x)是R上的增函数,
由f'(0)=-2<0,及f'(1)=e+1>0知 f‘(x)在区间[0,1]上存在唯一的零点,
从而函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点。

f'(x)=e^x+4x-3
f'(0)=e^0+4*0-3=-2<0
f'(1)=e^1+4*1-3=e+1>0
f''(x)=e^x+4>0
f'(x)在定义域是单调增加,所以在区间[0,1]上必有唯一的零点,即f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点