有关数列的一道题在数列an中 a1=-3 an=2an-1+2^n+3 n大于等于2 且为正整数1)求a2 a3 的值2)设bn=an+3比2^n n属于正整数 证明bn为等差数列3)求数列an的前n项和Sn
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/29 10:14:24
有关数列的一道题在数列an中 a1=-3 an=2an-1+2^n+3 n大于等于2 且为正整数1)求a2 a3 的值2)设bn=an+3比2^n n属于正整数 证明bn为等差数列3)求数列an的前n项和Sn
有关数列的一道题
在数列an中 a1=-3 an=2an-1+2^n+3 n大于等于2 且为正整数
1)求a2 a3 的值
2)设bn=an+3比2^n n属于正整数 证明bn为等差数列
3)求数列an的前n项和Sn
有关数列的一道题在数列an中 a1=-3 an=2an-1+2^n+3 n大于等于2 且为正整数1)求a2 a3 的值2)设bn=an+3比2^n n属于正整数 证明bn为等差数列3)求数列an的前n项和Sn
(1)
a2=2*(-3)+2^2+3=1
a3=2*1+2^3+3=13
(2)
an+3=2(an-1+3)+2^n
两边同时除以2^n
(an+3)/2^n=(an-1+3)/2^(n-1)+1
即bn=bn-1+1
b1=(a1+3)/2=0
所以bn=n-1,bn是等差数列
(3)
bn=(an+3)/2^n
n-1=(an+3)/2^n
an=(n-1)2^n-3=n·2^n-2^n-3
Sn=∑n·2^n-∑2^n-n·3
∑2^n=2+2²+2³+...+2^n=2^(n+1)-2
∑n·2^n=1×2+2×4+3×8+...+(n-1)·2^(n-1)+n·2^n -------①
2∑n·2^n=1×4+2×8+3×16+...+(n-1)·2^n+n·2^(n+1)-------②
两式相减得
∑n·2^n=n·2^(n+1)-(2^n+2^(n-1)+...+8+4+2)=n·2^(n+1)-∑2^n
∴Sn=∑n·2^n-∑2^n-n·3
=n·2^(n+1)-2∑2^n-3n
=n·2^(n+1)-2*[2^(n+1)-2]-3n
=(n-2)2^(n+1)-3n+4
所以Sn=(n-2)2^(n+1)-3n+4
呵呵差点看错题~
第一问带进去就好了~a2=1;a3=13~
第二问~根据an=2an-1+2^n+3,两边都加上3,再都除以2^n就可得到
an+3比2^n=an-1+3比2^n-1再加上1,即bn=bn-1 +1
就等差咯~
第三问~根据第二问算的结果~b1=0,可知bn=n-1,可推得
an=2^n*(n-1)-3
从a1加到an就行啦...
全部展开
呵呵差点看错题~
第一问带进去就好了~a2=1;a3=13~
第二问~根据an=2an-1+2^n+3,两边都加上3,再都除以2^n就可得到
an+3比2^n=an-1+3比2^n-1再加上1,即bn=bn-1 +1
就等差咯~
第三问~根据第二问算的结果~b1=0,可知bn=n-1,可推得
an=2^n*(n-1)-3
从a1加到an就行啦~
Sn=2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n -3n
其中2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n的求法,用错位相减法~
设2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n=S,
则2*S=2^3+2*2^4+3*2^5+……+(n-2)*2^n+(n-1)*2^n+1
S-2S=2^2+2^3+2^4+……+2^n -(n-1)*2^n+1
=2^n+2-4 -(n-1)*2^n+1
即S=(n-1)*2^n+1 - 2^n+2+4,代入Sn,得
Sn=(n-1)*2^n+1 - 2^n+2 -3n+4
收起
a2 = -6+4+3=1
a3 = 2+8+3 = 13
an=2an-1+2^n+3 , an - a(n-1) = a(n-1) + 2^n + 3
2^n*bn - 2^(n-1)*b(n-1) = 2^(n-1)*b^(n-1) + 2^n,
两边除以2^(n-1):
2bn - b(n-1) = b(n-1) + 2 , bn = b(n-1) ...
全部展开
a2 = -6+4+3=1
a3 = 2+8+3 = 13
an=2an-1+2^n+3 , an - a(n-1) = a(n-1) + 2^n + 3
2^n*bn - 2^(n-1)*b(n-1) = 2^(n-1)*b^(n-1) + 2^n,
两边除以2^(n-1):
2bn - b(n-1) = b(n-1) + 2 , bn = b(n-1) + 1
所以bn是以b1 = 0为首项 ,1为公差的等差数列 , bn = n-1
an = 2^n*bn - 3 = (n-1)*2^n - 3
令:Tn = (n-1)*2^n , 前n项和为S(tn)
S(tn) = 0·2^1 + 1·2^2 + 2·2^3 +......+ (n-1)2^n ,
2S(tn) = 0·2^2 + 1·2^3 + 2·2^4 +......+ (n-2)2^n + (n-1)2^(n+1)
-S(tn) = 2^2 + 2^3 + 2^4 +......+ 2^n - (n-1)·2^(n+1)
= 2^(n+1) - 4 - (n - 1)·2^(n+1)
= (2 - n)·2^(n+1) - 4
S(tn) = (n - 2)·2^(n+1) + 4
Sn = S(tn) - 3n
= (n - 2)·2^(n+1) - 3n + 4
收起
(1)
a2=2*(-3)+2^2+3=1
a3=2*1+2^3+3=13
(2)
an+3=2(an-1+3)+2^n
两边同时除以2^n
(an+3)/2^n=(an-1+3)/2^(n-1)+1
即bn=bn-1+1
b1=(a1+3)/2=0
所以bn=n-1,bn是等差数列
(3)
bn=(an+3)...
全部展开
(1)
a2=2*(-3)+2^2+3=1
a3=2*1+2^3+3=13
(2)
an+3=2(an-1+3)+2^n
两边同时除以2^n
(an+3)/2^n=(an-1+3)/2^(n-1)+1
即bn=bn-1+1
b1=(a1+3)/2=0
所以bn=n-1,bn是等差数列
(3)
bn=(an+3)/2^n
n-1=(an+3)/2^n
an=(n-1)2^n-3=n·2^n-2^n-3
Sn=∑n·2^n-∑2^n-n·3
∑2^n=2+2²+2³+...+2^n=2^(n+1)-2
∑n·2^n=1×2+2×4+3×8+...+(n-1)·2^(n-1)+n·2^n -------①
2∑n·2^n=1×4+2×8+3×16+...+(n-1)·2^n+n·2^(n+1)-------②
两式相减得
∑n·2^n=n·2^(n+1)-(2^n+2^(n-1)+...+8+4+2)=n·2^(n+1)-∑2^n
∴Sn=∑n·2^n-∑2^n-n·3
=n·2^(n+1)-2∑2^n-3n
=n·2^(n+1)-2*[2^(n+1)-2]-3n
=(n-2)2^(n+1)-3n+4
所以Sn=(n-2)2^(n+1)-3n+4
或
第一问带进去就好了~a2=1;a3=13~
第二问~根据an=2an-1+2^n+3,两边都加上3,再都除以2^n就可得到
an+3比2^n=an-1+3比2^n-1再加上1,即bn=bn-1 +1
就等差咯~
第三问~根据第二问算的结果~b1=0,可知bn=n-1,可推得
an=2^n*(n-1)-3
从a1加到an就行啦~
Sn=2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n -3n
其中2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n的求法,用错位相减法~
设2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n=S,
则2*S=2^3+2*2^4+3*2^5+……+(n-2)*2^n+(n-1)*2^n+1
S-2S=2^2+2^3+2^4+……+2^n -(n-1)*2^n+1
=2^n+2-4 -(n-1)*2^n+1
即S=(n-1)*2^n+1 - 2^n+2+4,代入Sn,得
Sn=(n-1)*2^n+1 - 2^n+2 -3n+4
知道了吗?祝你学习进步!!!!!!
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