求幂函数f(x)=x^(t^2+2t+1)(t∈N）的定义域,值域,并判断其单调性.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/17 05:48:20

求幂函数f(x)=x^(t^2+2t+1)(t∈N）的定义域,值域,并判断其单调性.
求幂函数f(x)=x^(t^2+2t+1)(t∈N）的定义域,值域,并判断其单调性.

求幂函数f(x)=x^(t^2+2t+1)(t∈N）的定义域,值域,并判断其单调性.
1、(t^2+2t+1)=(t+1)^2>=4,故Df(x)=R
2、值域需讨论(t+1)^2的奇偶性.
t为奇数时,(t+1)为偶,(t+1)^2为偶,Zf(x)=R+u{0}；
t为偶数时,(t+1)为奇,(t+1)^2为奇,Zf(x)=R；
3、单调性也需讨论,利用函数的性质求：
t为奇数时,(t+1)为偶,(t+1)^2为偶,x∈(-∞,0)单调递减,x∈[0,+∞)单调递增；
t为偶数时,(t+1)为奇,(t+1)^2为奇,x∈R单调递增.
单调性可以函数求导后判断：
f'(x)=(t+1)^2 [x^(t^2+2t)],f'(x)正值为单增,负值为单减.

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