已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx)若x∈[-3π/8,π/4]函数f(x)=λa*b的最大值为1/2,求实数λ的值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 08:41:05

已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx)若x∈[-3π/8,π/4]函数f(x)=λa*b的最大值为1/2,求实数λ的值
已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx)若x∈[-3π/8,π/4]函数f(x)=λa*b的最大值为1/2,求实数λ的值

已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx)若x∈[-3π/8,π/4]函数f(x)=λa*b的最大值为1/2,求实数λ的值
a·b=sinx^2+sinxcosx
=(1-cos(2x))/2+sin(2x)/2
=(sin(2x)-cos(2x)/2+1/2
=(√2/2)sin(2x-π/4)+1/2
f(x)=λa·b的最大值是1/2
即(√2/2)sin(2x-π/4)+1/2的最大值是1/(2λ)
x∈[-3π/8,π/4],故:2x-π/4∈[-π,π/4]
即:sin(2x-π/4)∈[-1,√2/2]
即:1/2+1/2=1/(2λ)
即:λ=1/2

a*b=sinx的平方+cosxsinx=(1-cos2x)/2+sin2x/2=1/2+1/2(sin2x-cos2x)=1/2+<2的算术平方根*sin(2x-π/4)>/2
2x-π/4的取值范围是-π到π/4,根据单调性可知当X取π/4时,a*b取得最大值,最大值为1,因此λ的值为1/2.