已知a/3+b/2=1 求a^2/9+b^2/4的最小值?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 08:37:36

已知a/3+b/2=1 求a^2/9+b^2/4的最小值?
已知a/3+b/2=1 求a^2/9+b^2/4的最小值?

已知a/3+b/2=1 求a^2/9+b^2/4的最小值?
均值不等式

解答如下：
主要应用这个公式x+y≥2√(xy)
a^2/9+b^2/4
=a^2/9+b^2/4+2*(a/3)*(b/2)-2*(a/3)*(b/2)
=(a/3+b/2)ˆ2-2*(a/3)*(b/2)
=1-2*(a/3)*(b/2)

因为(a/3)*(b/2)≤[(a/3+b/2)/2]ˆ2
即(a/...

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解答如下：
主要应用这个公式x+y≥2√(xy)
a^2/9+b^2/4
=a^2/9+b^2/4+2*(a/3)*(b/2)-2*(a/3)*(b/2)
=(a/3+b/2)ˆ2-2*(a/3)*(b/2)
=1-2*(a/3)*(b/2)

因为(a/3)*(b/2)≤[(a/3+b/2)/2]ˆ2
即(a/3)*(b/2)≤(1/2)ˆ2
(a/3)*(b/2)≤1/4
2(a/3)*(b/2)≤1/2
-2(a/3)*(b/2)≥-1/2
1-2(a/3)*(b/2)≥1-1/2
1-2(a/3)*(b/2)≥1/2
即a^2/9+b^2/4≥1/2
故a^2/9+b^2/4的最小值为1/2
且当a/3=b/2，a/3+b/2=1时，即a=3/2，b=1时能取得最小值

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