已知函数f(x)=ax²+2x-a,若对任意a∈[-1,1],f(x)>0恒成立,求x的取值范围

已知函数f(x)=ax²+2x-a,若对任意a∈[-1,1],f(x)>0恒成立,求x的取值范围
已知函数f(x)=ax²+2x-a,若对任意a∈[-1,1],f(x)>0恒成立,求x的取值范围

已知函数f(x)=ax²+2x-a,若对任意a∈[-1,1],f(x)>0恒成立,求x的取值范围
f(x)=ax²＋2x－a
这个函数可以看成是关于a的一次函数,即：
g(a)=(x²－1)a＋2x
这个函数的图像是一条直线,要使得此直线在[－1,1]上满足：g(a)>0,只要：
g(－1)>0且g(1)>0就可以了,得：
g(－1)=－x²＋2x＋1>0、g(1)=x²＋2x－1>0
x²－2x－1<0且x²＋2x－1>0
得：－1＋√2

根据图象可知，我们只需要考虑x∈[0，π/2 
)，此时g（x）=ax-sinx，利用导数工具，求导g′（x）=a-cosx，再对a值进行分类讨论研究函数g（x）的单调性，从而求出实数a的取值范围；

（1）根据图象可知，我们只需要考虑x∈[0，π /2 )，
此时g（x）=ax-sinx
所以g′（x）=a-cosx
当a≥1时，g′（x）≥0，易知函数g（x）单调增，
从而g（x）≥g（0）=0，符合题意；
当a≤0，g′（x）＜0，函数g（x）单调减，从而g（x）≤g（0）=0，不符合题意；
当0＜a＜1时，显然存在x0∈[0，π/ 2 )，使得g′（x）=0，且x∈[0，x0）时函数g（x）单调减，
从而g（x）≤g（0）=0，不符合题意．
综上讨论知a≥1．

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